双圆“算额”问题

血狼王

如图，AcB为一半圆，过B作射线g与半圆弧c交于点D，已知圆E内切于半圆弧c、射线g与直径AB；圆G与圆E外切，且与射线g、直径AB相切。
若圆E和圆G半径均为正整数，求半圆半径的最小值。

kuing

先算一下半径表达式：设半圆、圆 `E` 和圆 `G` 半径分别为 `r`, `r_1`, `r_2`，则有
\[\frac{r_1}{\sqrt{(r-r_1)^2-r_1^2}+r}=\tan\frac B2=\frac{r_1-r_2}{\sqrt{(r_1+r_2)^2-(r_1-r_2)^2}},\]
解得
\[r=\frac{2r_1^2r_2}{(r_1-r_2)\bigl(-r_1+r_2+2\sqrt{r_1r_2}\bigr)},\]
依题意 `r_1`, `r_2` 均为正整数，由图有 `r_1>r_2` 且 `r\geqslant2r_1`，当 `(r_1,r_2)=(2,1)` 时 `r=\frac87\bigl(1+2\sqrt2\bigr)\approx4.375`，那么如果 `r_1\geqslant3` 则 `r\geqslant6` 必然大于 `(r_1,r_2)=(2,1)` 时的 `r`，所以就不用看了，最小值就是 `\frac87\bigl(1+2\sqrt2\bigr)`。

血狼王

kuing 发表于 2025-1-3 21:25
先算一下半径表达式：设半圆、圆 `E` 和圆 `G` 半径分别为 `r`, `r_1`, `r_2`，则有
\[\frac{r_1}{\sqrt{(r ...

其实我忘记写一个条件了，除了圆E和圆G半径是正整数之外，半圆半径也是正整数……
如果补上去的话，答案又是什么呢？

kuing

血狼王 发表于 2025-1-4 01:41
其实我忘记写一个条件了，除了圆E和圆G半径是正整数之外，半圆半径也是正整数……
如果补上去的话，答案 ...

😒
`r` 也在正整数，那答案应该是 `32`。
用软件列举 `16\geqslant r_1>r_2` 内的所有正整数对的 `r` 值，发现只有 `r_1=12`, `r_2=3` 时有 `r=32` 为正整数。
而对于 `r_1>16` 的就算有也必然 `r\geqslant2r_1>32`，所以就不用看了，最小值就是 `32`。
纯数学推理方法我不会……😌

ljh25252

最近常发的题目（如知乎辰迪数学），应该是 **Descartes 定理** 造出来的推广命题，证明思路应该类似。
若平面上四个半径为 $r_1,r_2,r_3,r_4$ 的圆满足两两切于不同点，则半径满足如下结论：
两两外切

$$
\left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}+\frac{1}{r_4}\right)^2=2\left(\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{1}{r_3^2}+\frac{1}{r_4^2}\right)
$$

三圆内切于 $r_4$ 大圆：

$$
\left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}-\frac{1}{r_4}\right)^2=2\left(\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{1}{r_3^2}+\frac{1}{r_4^2}\right)
$$

还有 1991年俄罗斯奥林匹克的题，也是 **Descartes 定理** 或 **周达定理** 的推广:
在互相内切的两圆间隙中，添加 $n$ 个圆使得这 $n$ 个圆切于两圆之间还切于下一个圆。这 $n$ 个圆的半径 $r_i$ 满足

$$
\sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i-1}}{r_i}\binom{n-1}{i-1}=0
$$

$n=4$ 时即周达定理。

放到 $n$ 维下就是 **Soddy-Gossett 定理**