x,y,z>0, 在 x^2+y^2+z^2=27 和 xyz=8 约束条件下求 x+y+z 的最大值和最小值

TSC999

已知 x>0, y>0, z>0，在约束条件  x^2+y^2+z^2=27 和 x y z = 8 下求 x+y+z 的最大值 和最小值。

kuing

题目数字取得不好，要解三次方程🙄

记 `p=x+y+z`, `q=xy+yz+zx`, `r=xyz`，则有恒等式
\[(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2=p^2q^2-4q^3-4p^3r+18pqr-27r^2\geqslant0,\]
由条件有 `q=(p^2-27)/2`, `r=8`，代入上式化简得
\[-p^6+108p^4+160p^3-3645p^2-7776p+32454\geqslant0,\]
由变量为正有 `p^2>x^2+y^2+z^2` 得 `p>3\sqrt3`，在此范围内解上述不等式，可得
\[A+4\sqrt{\frac2A}\leqslant p\leqslant B+4\sqrt{\frac2B},\]
其中
\begin{align*}
A&=6\cos\left(\frac13\arccos\left(-\frac8{27}\right)\right),\\
B&=6\cos\left(\frac13\arccos\left(-\frac8{27}\right)-\frac{2\pi}3\right),
\end{align*}
当 `x=A`, `y=z=2\sqrt{2/A}` 时左边取等，当 `x=B`, `y=z=2\sqrt{2/B}` 时右边取等。

近似值：最小值约为 `7.43318`，最大值约为 `7.89983`。

TSC999

以上是用 mathematica 软件求此问题的数字解。用此软件未能求出精确解。

TSC999

下面介绍【数学中国】论坛陆元鸿教授用拉格朗日乘子法的解法：