$g$在双有理代换下不变

hbghlyj

見Riemann surface p49 Remark on Riemann surfaces in C²
代数曲线的次数为$N$，二重点的个数为$d$，设
$$g=\frac{(N-1)(N-2)}2-d$$
代数曲线$C,D$，如果$C$上的点的坐标总是$D$上的点的坐标的有理函数，$D$上的点的坐标总是$C$上的点的坐标的有理函数，则称这两条曲线是双有理等价的。(表格)

如何证明双有理等价的$C,D$必具有相等的$g$？

hbghlyj

$g=0$时曲线定义为‘有理曲线’，如 $y=1-x$ 与 $y^2 = 1+x^2$ 与 $y^3=xy-x^3$
$g=1$时曲线定义为‘椭圆曲线’，如 $y^2 = x^3 - 1$ 与 $y^2 = x^4 + 1$ 与 $x^3y^2 = 1 - x^3$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-1-16 09:23
$g=1$时曲线定义为‘椭圆曲线’

‘椭圆曲线’具有相等的$g$，但两条椭圆曲线不一定是双有理等价的。

两条椭圆曲线是双有理等价的充要条件是它们具有相等的 j invariant（与elliptic modulus有何关联），见
《数学文化》第4卷第3期 第70页：浅说椭圆曲线

en.wikipedia.org/wiki/Moduli_of_algebraic_curves#Genus_1
en.wikipedia.org/wiki/Moduli_stack_of_elliptic_curves