空间中两个旋转生成的旋转

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我们取两条坐标轴并设A是繞第一条轴旋转arccos(1/3)弧度而B是繞另一条轴旋转arccos(1/3)弧度。如何证明由 $A, A^{-1}, B$ 和 $B^{-1}$ 构成的在消除$aa^{-1},bb^{-1}$後的长度大于零的有限序列不等于恒等变换?

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考虑绕 $y$－轴和 $z$－轴旋转一个 $\theta$ 角度的变换，记这两个变换为 $a$ 和 $b$ 。我们要求 $\theta / \pi$ 是一个无理数，如何证明对于任意 $n_k, m_k \in \mathbb{Z}, a^{n_1}b^{m_1}a^{n_2}b^{m_2}\cdots$ 当且仅当所有此序列在消除$aa^{-1},bb^{-1}$後的长度为零时，才等于恒等变换。

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先考慮当有3个，$a^{n_1}b^{m_1}a^{n_2}=1\iff a^{-n_1-n_2}=b^{m_1}$，当且仅当 $ m_1=0 ,n_1+n_2=0$. 证明完成

再考慮当有4个，如何证明对于任意 $n_1, m_1 ,n_2,m_2\in \mathbb{Z}, a^{n_1}b^{m_1}a^{n_2}b^{m_2}$ 等于恒等变换当且仅当所有 $n_1, m_1 ,n_2,m_2$ 都为零

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Ping-Pong lemma + $\mathbb Q_5$: sbseminar.wordpress.com/2007/09/17/that-trick-where-you-embed-the-free-group-into-a-lie-group/

math.stackexchange.com/questions/1492799/there-is-a-free-group-f-2-in-so3

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hbghlyj 发表于 2025-1-20 15:38
sbseminar.wordpress.com/2007/09/17/that-trick-where-you-embed-the-free-group-into-a-lie-group/

文中提到选取那个例子的原因是两个不动点在$\mathbb Q_5$有 $|(2+i) / \sqrt{5}|>1$ 和 $|(2-i) / \sqrt{5}|<1$ 这在后面哪里用到了呢

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hbghlyj 发表于 2025-1-20 15:38
sbseminar.wordpress.com/2007/09/17/that-trick-where-you-embed-the-free-group-into-a-lie-group/

为什么说在$\mathbb Q_5$有 $|(2+i) / \sqrt{5}|>1$ 和 $|(2-i) / \sqrt{5}|<1$