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对于 $R=\mathbb{Z}_n$，令 $d$ 为 $n$ 的squarefree part（$n$ 的所有不同素因子的乘积）。那么一个多项式 $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\in\mathbb{Z}_n[x]$ 是一个单位当且仅当 $\gcd(a_0,n)=1$，并且 $d|a_i$ 对于 $i=1,\ldots,n$。特别地，如果 $n$ 是无平方因数的，那么 $\mathbb{Z}_n[x]$ 中的单位仅是 $\mathbb{Z}_n$ 的单位。
为了证明这一点，我们需要一些引理。
引理 1. 设 $R$ 是一个交换环。如果 $u$ 是一个单位并且 $a$ 是幂零的，那么 $u+a$ 是一个单位。
证明. 只需证明当 $a$ 是幂零的时 $1-a$ 是一个单位。如果 $a^n=0$ 且 $n\gt 0$，那么
$$(1-a)(1+a+a^2+\cdots+a^{n-1}) = 1 - a^n = 1。$$
证毕
引理 2. 如果 $R$ 是一个环，并且 $a$ 在 $R$ 中是幂零的，那么 $ax^i$ 在 $R[x]$ 中是幂零的。
证明. 设 $n\gt 0$ 使得 $a^n=0$。那么 $(ax^i)^n = a^nx^{ni}=0$。证毕
引理 3. 设 $R$ 是一个交换环。那么
$$\bigcap\{ \mathfrak{p}\mid \mathfrak{p}\text{ 是 }R\text{ 的一个素理想}\} = \{a\in R\mid a\text{ 是幂零的}\}。$$
证明. 如果 $a$ 是幂零的，那么 $a^n = 0\in\mathfrak{p}$ 对于某些 $n\gt 0$ 和所有素理想 $\mathfrak{p}$，并且 $a^n\in\mathfrak{p}$ 意味着 $a\in\mathfrak{p}$。
反之，如果 $a$ 不是幂零的，那么不包含 $a$ 的任何正幂的理想集是非空的（它包含 $(0)$）并且在递增并集中是闭合的，因此根据佐恩引理它包含一个极大元素 $\mathfrak{m}$。如果 $x,y\notin\mathfrak{m}$，那么理想 $(x)+\mathfrak{m}$ 和 $(y)+\mathfrak{m}$ 严格包含 $\mathfrak{m}$，所以存在正整数 $m$ 和 $n$ 使得 $a^m\in (x)+\mathfrak{m}$ 和 $a^n\in (y)+\mathfrak{m}$。那么 $a^{m+n}\in (xy)+\mathfrak{m}$，所以 $xy\notin\mathfrak{m}$。因此，$\mathfrak{m}$ 是素理想，所以 $a$ 不在 $R$ 的所有素理想的交集中。证毕
定理. 设 $R$ 是一个交换环。那么
$$p(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n\in R[x]$$
是 $R[x]$ 中的一个单位当且仅当 $a_0$ 是 $R$ 的一个单位，并且每个 $a_i$，$i\gt 0$，是幂零的。
证明. 假设 $a_0$ 是一个单位并且每个 $a_i$ 是幂零的。那么根据引理 2，$a_ix^i$ 是幂零的，并且反复应用引理 1 我们得出 $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ 是 $R[x]$ 中的一个单位，如所述。
反之，假设 $p(x)$ 是一个单位。如果 $\mathfrak{p}$ 是 $R$ 的一个素理想，那么 $R[x]$ 模 $\mathfrak{p}$ 的约化将 $R[x]$ 映射到 $(R/\mathfrak{p})[x]$，这是一个整环上的多项式环；由于约化映射将单位映射为单位，因此 $\overline{p(x)}$ 是 $(R/\mathfrak{p})[x]$ 中的一个单位，因此 $\overline{p(x)}$ 是常数。因此，$a_i\in\mathfrak{p}$ 对于所有 $i\gt 0$。
因此，$a_i \in\bigcap\mathfrak{p}$，即 $R$ 的所有素理想的交集。$R$ 的所有素理想的交集正是 $R$ 的幂零元素集，这就证明了结果。证毕 |
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