证明 $\frac1π\arccos\frac13$ 是无理数

hbghlyj

2017手写笔记第5页
我们想要证明
$\cos \left(\frac{p}{q} \pi\right) \neq \frac{1}{3}$ 对于任何 $p, q \in \mathbb{Z}$。
证明。假设 $\cos \left(\frac{p}{q} \pi\right)=\frac{1}{3}$。那么欧拉公式给出
\[
e^{i \frac{p}{q} \pi}=\cos \left(\frac{p}{q} \pi\right)+i \sin \left(\frac{p}{q} \pi\right)=\frac{1}{3} \pm i \frac{2 \sqrt{2}}{3}
\]
（最后一个等式使用了 $\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1$）。假设 $e^{i \frac{2}{2} \pi}=\frac{1}{3}+i \frac{2 \sqrt{2}}{3}$；另一种情况类似。
我们有 $1=e^{i 2 p \pi}=\left(\frac{1}{3}+i \frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)^{2 q}$。
使用归纳法可以看到 $\left(\frac{1}{3}+i \frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)^n=\frac{a_n}{3^{n+1}}+i \sqrt{2} \frac{b_n}{3^{n+1}}$，其中
\[
a_n=a_{n-1}-4 b_{n-1}, \quad b_n=b_{n-1}+2 a_{n-1} \quad\left(a_n, b_n \text { 是整数}\right)
\]
因此我们只需要证明 $b_{2 q} \neq 0$。只需证明 $b_{2 q} \not\equiv 0(\bmod 3)$。我们有 $a_1=1$ 和 $b_1=2$，所以 $a_2=-7 \equiv 2(\bmod 3)$ 和 $b_2=4 \equiv 1(\bmod 3)$，
所以 $a_3 \equiv 1(\bmod 3)$ 和 $b_3 \equiv 2(\bmod 3)$，等等...