一个二次函数的根和系数不等式

nttz

设二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$通过（1，0），另一个根介于4和5之间,判断$(b+3a)(b-3a)> 4ac$对错

如果用公式 $\abs{x_1 - x_2}=\frac{\sqrt{\delta}}{\abs{a}}$,容易证明,
但是用  \begin{cases}  f(1)= 0  \\  f(4)*f(5) < 0 \end{cases}这个等价条件得
\begin{cases}  a+b + c= 0  \\  (16a + 4b+c)*(25a + 5b + c) < 0 \end{cases}
怎么就证明不出来，请问高手问题在那儿呢

kuing

可以的呀，消 `c` 就行。

等价条件消 `c` 后变成 `12(5a+b)(6a+b)<0`，由于 `a\ne0`，可以除以 `a^2` 变成 `(5+b/a)(6+b/a)<0`，即 `-6<b/a<-5`。

要证的不等式消 `c` 即证 `(b+3a)(b-3a)+4a(a+b)>0`，即 `(-a+b)(5a+b)>0`，即 `(-1+b/a)(5+b/a)>0`，由 `-6<b/a<-5` 知此式成立。

nttz

kuing 发表于 2025-2-1 20:35
可以的呀，消 `c` 就行。

等价条件消 `c` 后变成 `12(5a+b)(6a+b)<0`，由于 `a\ne0`，可以除以 `a^2` 变成 ...

换元，忘了哎