球面上N点距离为$r_{ij}$，求$U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}$的最小值

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电子的汤姆森问题
en.wikipedia.org/wiki/Thomson_problem
在数学上，只有少数情况下严格确定了精确的最低能量配置。

对于 N = 1，解决方案是显而易见的。单个电子可以位于单位球表面的任意一点。配置的总能量定义为零，因为电子的电荷不受其他电荷源的电场影响。
对于 N = 2，最佳配置是电子位于对跖点。这代表了第一个一维解决方案。
对于 N = 3，电子位于任意大圆上的等边三角形的顶点。大圆通常被认为定义了球体的赤道，平面垂直的两个点通常被认为是极点，以帮助讨论多电子解的静电配置。此外，这代表了第一个二维解决方案。
对于 N = 4，电子位于正四面体的顶点。有趣的是，这代表了第一个三维解决方案。
对于 N = 5，2018年报道了一个严格的计算机辅助解决方案，电子位于三角双锥的顶点。有趣的是，对于五个或更多电子的任何 N 解，不可能在所有电子对之间表现出全局等距。
对于 N = 6，电子位于正八面体的顶点。可以想象，四个电子位于赤道周围的正方形的角上，剩下的两个位于极点。
对于 N = 12，电子位于正二十面体的顶点。
N = 4、6 和 12 电子的汤姆森问题的几何解是正多面体，其面都是全等的等边三角形。N = 8 和 20 的数值解不是剩下的两个正多面体（即立方体和十二面体）。

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对于 N = 4 如何证明位于正四面体的顶点时达到最小？

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球面上4点距离为$r_{ij}$，求$U(4)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}$的最小值