逆等线求角度

走走看看

请大师们看看，除了图示的求解方法外，还能找到几种方法。
不应该只是一种解法。试了平移、等腰、全等都没有解出来。
答案：∠ACB=30°。

走走看看

向下作等边▲ABE，在BC上截取BF=BA，连接DE、CE。

易得BD=FC，∠EFB=∠BFE=72°。

由等边三角形的对称性可知∠DEB=36°，所以∠FDE=72°。

所以DE=FE，∠EDB=∠EFC。

又DB=FC，所以▲BDE≌▲CFE，所以EB=EC，∠ECF=36°，所以EC=EA。

∠CEA=∠CEB-∠AEB=108°-60°=48°，所以∠ECA=66°。

所以∠BCA=30°。

走走看看

刚才以为用第二种方法做出来了，仔细检查是错的。

可能除了三角法，只有这唯一一种方法。

出只有一种方法的题目，是在害学生，禁锢学生思维，不可取。

战巡

这也谈不上什么禁锢思想，有些问题确实只有少数办法管用

这类整数角度的问题，除了三角暴力硬解，最有效的就是作正三角形，不是这样作就是那样作，其实都差不多

如果你非要另一种方法，我这里可以提供一种




作$\angle DBE=30\du$，交$AD$延长线于$E$，作正三角形$\Delta BOE$，其他连线如图

由于$\angle EAB=30\du=\frac{60\du}{2}=\frac{\angle BOE}{2}$，故此$A$也在以$O$为圆心$OE$为半径的圆上，有$OB=OE=BE=OA$

先算一下各种角度，很容易得到$\angle BEA=96\du$，$\angle OED=\angle OAD=36\du$，$\angle EBA=54\du$，$\angle EOA=2\angle EBA=108\du$
然后由于$\angle OBD=\angle DBE=30\du$，$OB=OE$，显然$\Delta BOD\cong\Delta BED$，$OD=DE$，然后可证$\angle ODA=2\angle OED=72\du$
于是就有$\angle AOD=72\du$，$OA=AD=BE$
再加上$\angle ADC=54\du=\angle ABE$，以及$AB=CD$，就有
\[\Delta ABE\cong\Delta ADC\]
\[\angle BAE=\angle C=30\du\]

走走看看

综合1楼、4楼，可以看出，只能在左边构建等边三角形才可解。