已知三角形的内心到各顶点的距离，能否确定内切圆半径和三角形周长？

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已知三角形的内心到各顶点的距离，能否确定内切圆半径和三角形周长？

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下面给出一个反例说明：已知三角形的内心到各顶点的距离，并不能给出一个公式来确定三角形周长。


上面这个 “三角形” 实际上是不存在的，因为除了内心到各顶点的距离是准确值外，其余数据（切线长和圆半径）都是近似值，不可能得到它们的准确值。

hejoseph

可以得到周长和半径满足的方程，但是很复杂的，都是三次相关的方程，但要确定哪个是真正的解并不那么容易。
若设 $p$ 为半周长，$r$ 为内切圆半径，$t$、$u$、$v$ 是内心到各顶点的距离，则 $r$ 满足方程

1. 2 r^3 t u v+r^2 (t^2 u^2+t^2 v^2+u^2 v^2)-t^2 u^2 v^2 == 0

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$p$ 满足方程

1. 4 p^6 t^2 u^2 v^2+p^4 (t^4 u^4-10 t^4 u^2 v^2+t^4 v^4-10 t^2 u^4 v^2-10 t^2 u^2 v^4+u^4 v^4)+p^2 (-2 t^6 u^4+8 t^6 u^2 v^2-2 t^6 v^4-2 t^4 u^6-4 t^4 u^4 v^2-4 t^4 u^2 v^4-2 t^4 v^6+8 t^2 u^6 v^2-4 t^2 u^4 v^4+8 t^2 u^2 v^6-2 u^6 v^4-2 u^4 v^6)+t^8 u^4-2 t^8 u^2 v^2+t^8 v^4-2 t^6 u^6+2 t^6 u^4 v^2+2 t^6 u^2 v^4-2 t^6 v^6+t^4 u^8+2 t^4 u^6 v^2-6 t^4 u^4 v^4+2 t^4 u^2 v^6+t^4 v^8-2 t^2 u^8 v^2+2 t^2 u^6 v^4+2 t^2 u^4 v^6-2 t^2 u^2 v^8+u^8 v^4-2 u^6 v^6+u^4 v^8 == 0

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通过数值验证，$p$、$r$ 应该都是所满足方程的最大根。

事实上2#所举的例子是有解的，按那里的符号，tx、ty、tz的近似值分别为0.82561346818181854226、2.28375515299762612237、1.60101142995395591850

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1. Clear["Global`*"];
2. x = 115/100; y = 242/100; z = 179/100;
3. W = NSolve[{2 r^3 x y z + r^2 (x^2 y^2 + x^2 z^2 + y^2 z^2) -
4.        x^2 y^2 z^2 == 0, r > 0}, {r}, 100] // Flatten;
5. r = r /. W; Print["r = ", r];
6. tx = Sqrt[x^2 - r^2]; Print["tx = ", N[tx, 100]];
7. ty = Sqrt[y^2 - r^2]; Print["ty = ", N[ty, 100]];
8. tz = Sqrt[z^2 - r^2]; Print["tz = ", N[tz, 100]];
9. L = 2 (tx + ty + tz); Print["L = ", N[L, 100]];

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程序运行结果是：
r = 0.8005388192691153322169278163957643666132854363277856003737140361790085294640445720062274138021046686;
tx = 0.8256134681818185422570255744458584180469278984035455354486184781511147887366972241055345433917570298;
ty = 2.283755152997626122372696231586643096372075327304196678393596164704167339678892241020086740322335223;
tz = 1.601011429953955918500217324692424544019062607152427795303837822022504747820896625557954494676686053;
L = 9.420760102266801166259878261449852116876131665720340018292104929755573752472972181367151556781556612。
其中 r 是内切圆半径，tx、ty、tz 分别是内心到三个顶点的距离。L 是三角形周长。
经验证，3# 楼 hejoseph 给出的三次方程 2 r^3 x y z + r^2 (x^2 y^2 + x^2 z^2 + y^2 z^2) - x^2 y^2 z^2 = 0 是正确的。
其中，r 为三角形内切圆半径，x、y、z 分别是内心到各顶点的距离。
请问这个方程是如何推导出来的？这个方程的公式解能不能写出来？
另外，由 x、y、z 直接计算周长 2p 的方程似乎有误？见下面代码，其中 t、u、v 分别相当于 x、y、z：

1. Clear["Global`*"];
2. t = 115/100; u = 242/100; v = 179/100;
3. W = NSolve[{4 p^6 t^2 u^2 v^2 +
4.        p^4 (t^4 u^4 - 10 t^4 u^2 v^2 + t^4 v^4 - 10 t^2 u^4 v^2 -
5.           10 t^2 u^2 v^4 + u^4 v^4) +
6.        p^2 (-2 t^6 u^4 + 8 t^6 u^2 v^2 - 2 t^6 v^4 - 2 t^4 u^6 -
7.           4 t^4 u^4 v^2 - 4 t^4 u^2 v^4 - 2 t^4 v^6 + 8 t^2 u^6 v^2 -
8.           4 t^2 u^4 v^4 + 8 t^2 u^2 v^6 - 2 u^6 v^4 - 2 u^4 v^6) +
9.        t^8 u^4 - 2 t^8 u^2 v^2 + t^8 v^4 - 2 t^6 u^6 +
10.        2 t^6 u^4 v^2 + 2 t^6 u^2 v^4 - 2 t^6 v^6 + t^4 u^8 +
11.        2 t^4 u^6 v^2 - 6 t^4 u^4 v^4 + 2 t^4 u^2 v^6 + t^4 v^8 -
12.        2 t^2 u^8 v^2 + 2 t^2 u^6 v^4 + 2 t^2 u^4 v^6 - 2 t^2 u^2 v^8 +
13.         u^8 v^4 - 2 u^6 v^6 + u^4 v^8 == 0, p > 0}, {p}, 100] //
14.    Flatten;
15. p = p /. W; Print["L = ", 2 p];

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按上面程序的计算结果是
L = 1.052449068223439820587980148019709508275978859068284244739020574036147573424436623108975350470482213;
而正确结果应该是
L = 9.420760102266801166259878261449852116876131665720340018292104929755573752472972181367151556781556612。

hejoseph

用我习惯的符号 $x$、$y$、$z$ 表示切线长，$t$、$u$、$v$ 表示内心到各顶点的距离，$p=x+y+z$，$r^2=xyz/(x+y+z)$，$t^2=x^2+r^2$，$u^2=y^2+r^2$，$v^2=z^2+r^2$，再利用平面四点决定的六长度的关系方程就可以得到结论了，如果不知道这个关系，用上面的式子逐步消去 $x$、$y$、$z$ 就行，我通常用结式法，其中内切圆半径通过数值计算去掉一个方程。想得到 $r$、$p$ 的公式直接用一元三次方程的求根公式就行，但公式会很复杂，而且可能还要根据有没有虚数根分两套公式。
上面你计算周长出现那个数值是因为那个方程有两个正根，程序选择了最小的正根而不是最大的正根，你自己求一下方程的数值解就知道了。

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1. Clear["Global`*"];
2. t = 115/100; u = 242/100; v = 179/100;
3. NSolve[{4 p^6 t^2 u^2 v^2 +
4.     p^4 (t^4 u^4 - 10 t^4 u^2 v^2 + t^4 v^4 - 10 t^2 u^4 v^2 -
5.        10 t^2 u^2 v^4 + u^4 v^4) +
6.     p^2 (-2 t^6 u^4 + 8 t^6 u^2 v^2 - 2 t^6 v^4 - 2 t^4 u^6 -
7.        4 t^4 u^4 v^2 - 4 t^4 u^2 v^4 - 2 t^4 v^6 + 8 t^2 u^6 v^2 -
8.        4 t^2 u^4 v^4 + 8 t^2 u^2 v^6 - 2 u^6 v^4 - 2 u^4 v^6) +
9.     t^8 u^4 - 2 t^8 u^2 v^2 + t^8 v^4 - 2 t^6 u^6 + 2 t^6 u^4 v^2 +
10.     2 t^6 u^2 v^4 - 2 t^6 v^6 + t^4 u^8 + 2 t^4 u^6 v^2 -
11.     6 t^4 u^4 v^4 + 2 t^4 u^2 v^6 + t^4 v^8 - 2 t^2 u^8 v^2 +
12.     2 t^2 u^6 v^4 + 2 t^2 u^4 v^6 - 2 t^2 u^2 v^8 + u^8 v^4 -
13.     2 u^6 v^6 + u^4 v^8 == 0, p > 0}, {p}, 100]

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1. {{p->0.5262245341117199102939900740098547541379894295341421223695102870180737867122183115544876752352411065},{p->4.710380051133400583129939130724926058438065832860170009146052464877786876236486090683575778390778306}}

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这样做就对了。

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1. In[40]:= Clear[
2.   "Global`*"];(* r 是三角形内切圆半径，x、y、z 为切线长，t、u、v 是内心到各顶点的距离 *)
3. (* 已知 t、u、v，求 r 与 t、u、v 之间的关系 *)
4. Eliminate[{t^2 == x^2 + r^2, u^2 == y^2 + r^2, v^2 == z^2 + r^2,
5.   r^2 == (x y z)/(x + y + z)}, {x, y, z}](* 消去 x、y、z *)
6. Factor[t^4 (r^4 u^4 + 2 r^4 u^2 v^2 + r^4 v^4 - 2 r^2 u^4 v^2 -
7.      2 r^2 u^2 v^4 + u^4 v^4) +
8.   r^2 t^2 u^2 v^2 (-4 r^4 + 2 r^2 u^2 + 2 r^2 v^2 - 2 u^2 v^2) +
9.   r^4 u^4 v^4]
11. Out[41]= t^4 (r^4 u^4+2 r^4 u^2 v^2+r^4 v^4-2 r^2 u^4 v^2-2 r^2 u^2 v^4+u^4 v^4)+r^2 t^2 u^2 v^2 (-4 r^4+2 r^2 u^2+2 r^2 v^2-2 u^2 v^2)==-r^4 u^4 v^4
13. Out[42]= -(2 r^3 t u v+r^2 t^2 u^2+r^2 t^2 v^2+r^2 u^2 v^2-t^2 u^2 v^2) (2 r^3 t u v-r^2 t^2 u^2-r^2 t^2 v^2-r^2 u^2 v^2+t^2 u^2 v^2)

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以上是用软件消去 x、y、z，求出 r 与  t、u、v 关系的方法。最终得到两个方程：
2 r^3 t u v+r^2 (t^2 u^2+ t^2 v^2+ u^2 v^2) - t^2 u^2 v^2 = 0 ---------①
或者
2 r^3 t u v - r^2 (t^2 u^2+t^2 v^2+ u^2 v^2) + t^2 u^2 v^2 =0 ---------②
经检查发现只有方程 ① 能用。

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最终得到了下面这个求周长的公式——
已知三角形内心到各顶点的距离为 t、u、v，则该三角形的周长按下式计算：


例如：
当 t = 1.15;  u = 2.42;  v = 1.79 时，周长 L = 9.420760102266801166259878261449852116876131665720340018292104929755573752472972181367151556781556612。  
当 t = 1.25;  u = 3.42;  v = 2.79 时，周长 L = 13.28975658638353901041526711872246778742418899616882665551865718064638077780880537526275481421361560。
当 t = 4.25;  u = 0.42;  v = 0.79 时，周长 L = 10.32062627408660595005197102685394287942493510046645362219261136580737861365312545443669170130161183。
当 t = 5.25;  u = 80.42; v = 0.29 时，周长 L = 171.3570492152826277983366307234776362038913998155439748953238205323541584606456877996154784599222167。