球极坐标（r、θ 和 φ）球谐函数 $Y^m_ℓ(θ, φ)$

hbghlyj

球极坐标（r、θ 和 φ）便于描述具有球形或近球形对称性的三维物理系统。

球谐函数
\begin{equation}
Y_0^0=1 \quad Y_1^0=\cos \theta \quad Y_2^0=3 \cos ^2 \theta-1
\end{equation}
\begin{equation}
{ }^s Y_2^1=\cos \theta \sin \theta \sin \phi \quad Y_3^0=5 \cos ^3 \theta-3 \cos \theta \quad{ }^c Y_3^1=\left(5 \cos ^2 \theta-1\right) \sin \theta \cos \phi
\end{equation}

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球谐函数的极坐标图：
在每个方向 $(\vartheta,\varphi)$ 上，我们绘制一个距离原点 $r=|Y^\ell_m(\vartheta,\varphi)|$ 的点。
我们用 $Y^\ell_m(\vartheta,\varphi)$ 的相位来着色这个点。连接这些有颜色的点可得到所示的图。

观察到，所有球谐函数都绕 $z$ 轴旋转对称，相位由 $e^{im\varphi}$ 给出。