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只需检查“每个具有实系数的非常数多项式 $p(z)$ 都有一个复数根”这一命题。这个引理足以建立一般情况，因为，给定一个具有复系数的非常数多项式 $p$，多项式
$$ q=p{\overline {p}}$$
具有实系数，并且，如果 $z$ 是 $q$ 的根，那么 $z$ 或其共轭是 $p$ 的根。这里，$ {\overline {p}} $ 是通过将 $p$ 的每个系数替换为其复共轭得到的多项式；$ {\overline {p}} $ 的根正好是 $p$ 的根的复共轭。
如上所述，只需检查“每个具有实系数的非常数多项式 $p(z)$ 都有一个复数根”这一命题。这个命题可以通过对 $2^{k}$ 整除 $p(z)$ 的次数 $n$ 的最大非负整数 $k$ 进行归纳来证明。
如果 $k=0$，那么 $n$ 是奇数，因此 $p(z)$ 有一个实根。
现在，假设 $n=2^km$（其中 $m$ 是奇数且 $k>0$），并且定理已经在多项式的次数为 $2^{k-1}m'$（其中 $m'$ 是奇数）时得到了证明。
设 $F$ 为 $p(z)$ 的分裂域，$z_1,\dots,z_n\in F$ 为 $p(z)$ 的根，要证明它们在 $\mathbb C$ 中。
设 $a$ 为 $p(z)$ 中 $z^{n}$ 的系数，则 $ p(z)=a(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n}). $
对于任意一个实数 $t$，定义：
$ q_{t}(z)=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(z-z_{i}-z_{j}-tz_{i}z_{j}\right). $
那么 $q_t(z)$ 的系数是 $z_i$ 的对称多项式，具有实系数（因为，它们可以表示为具有实系数的基本对称多项式的多项式，即 $-a_{1},a_{2},\ldots ,(-1)^{n}a_{n}$ 的实系数多项式。所以 $q_{t}(z)$ 实际上具有实系数）。
此外，$q_{t}(z)$ 的次数是 $n(n-1)/2=2^{k-1}m(n-1)$，并且 $m(n-1)$ 是一个奇数。因此，使用归纳假设，$q_{t}$ 至少有一个复数根；换句话说，对于 $\{1,\dots, n\}$ 中的两个不同元素 $i$ 和 $j$，$z_{i}+z_{j}+tz_{i}z_{j}$ 是复数。
可以找到不同的实数 $t$ 和 $s$ 使得 $z_{i}+z_{j}+tz_{i}z_{j}$ 和 $z_{i}+z_{j}+sz_{i}z_{j}$ 是复数（对于相同的 $i$ 和 $j$）。因此，$z_{i}+z_{j}$ 和 $z_{i}z_{j}$ 都是复数。很容易检查每个复数都有一个复平方根，因此每个次数为 2 的复多项式通过二次公式都有一个复数根。由此可见，$z_{i}$ 和 $z_{j}$ 是复数，因为它们是二次多项式 $z^{2}-(z_{i}+z_{j})z+z_{i}z_{j}$ 的根。
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abababa
发表于 2025-2-16 12:23
