$\cos b,\cos a,\cos c$也是等差数列.则$\cos a$的取值范围是

Tesla35

已知实数$a$满足:①$a\in[0,2\pi)$;②存在实数$b,c(a<b<c<2\pi)$,使得$a,b,c$是等差数列,~$\cos b,\cos a,\cos c$也是等差数列.则$\cos a$的取值范围是

kuing

等价于 `0\leqslant a<c<2\pi` 使得
\[\cos\frac{a+c}2+\cos c=2\cos a,\]
求 `\cos a` 的范围。

显然若 `a\geqslant\pi` 则 `\LHS>\RHS`，若 `c\leqslant\pi` 则 `\LHS<\RHS`，所以必然有 `a<\pi<c`。

令
\[f(x)=\cos\frac{a+x}2+\cos x-2\cos a,\quad x\in[\pi,2\pi],\]
由前所述知 `f(\pi)<0`，下面证明当 `x=2\pi` 时此函数取最大值，由和差化积知
\begin{align*}
f(x)\leqslant f(2\pi)&\iff\cos\frac{a+x}2+\cos\frac a2\leqslant1-\cos x\\
&\iff\cos\left(\frac a2+\frac x4\right)\cos\frac x4\leqslant\sin^2\frac x2,
\end{align*}
由 `a<\pi\leqslant x\leqslant2\pi` 易知
\[\cos\left(\frac a2+\frac x4\right)\cos\frac x4\leqslant\cos^2\frac x4,\]
所以只需证
\[\cos\frac x4\leqslant\sin\frac x2\iff\left(2\sin\frac x4-1\right)\cos\frac x4\geqslant0,\]
由 `\pi/4\leqslant x/4\leqslant\pi/2` 知上式成立，所以 `f(x)` 的最大值为 `f(2\pi)`。

于是存在 `c\in(\pi,2\pi)` 使得 `f(c)=0` 当且仅当 `f(2\pi)>0`，而
\[f(2\pi)=-\cos\frac a2+1-2\cos a=\left(1+\cos\frac a2\right)\left(3-4\cos\frac a2\right),\]
这样就得到 `\cos(a/2)\in(0,3/4)`，进而 `\cos a\in(-1,1/8)`。

nttz

kuing 发表于 2025-2-20 16:59
等价于 `0\leqslant a<c<2\pi` 使得
\[\cos\frac{a+c}2+\cos c=2\cos a,\]
求 `\cos a` 的范围。

怎么个显然法？

hbghlyj

nttz 发表于 2025-2-22 00:03
怎么个显然法？

显然若 `a\geqslant\pi` 则 `\cos c>\cos\frac{a+c}2>\cos a`，若 `c\leqslant\pi` 则 `\cos c<\cos\frac{a+c}2<\cos a`