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交比在莫比乌斯变换下的不变性证明：
给定 $\overline {\mathbb C}$ 上的不同点 $z_1,z_2,z_3,z_4$，我们定义交比 $(z_1,z_2,z_3,z_4)$ 为 $(z_1,z_2,z_3,z_4)=\dfrac{z_1-z_2}{z_1-z_4}\dfrac{z_3-z_4}{z_3-z_2}$。
直接计算证明莫比乌斯变换保持交比
设 $T$ 为莫比乌斯变换 $T(x) = \frac {ax +b}{cx +d}$，其中$ad-bc\ne0$
那么
$$T(x) -T(y) = \frac {a x +b}{c x +d} -\frac {a y +b}{c y +d}= $$
$$ = \frac {(a x +b)(c y +d) - (a y +b)(c x +d) }{(c x +d)(c y + d)} = $$
$$ = \frac {ax(c y +d) +b(c y +d) - a y(c x +d) - b(c x +d)}{(c x) +d)(c y +d)} = $$
$$ = \frac { ac x y + adx +bc y + bd - ac xy -ady - bc x -bd}{(c x +d)(c y +d)} = $$
$$ = \frac { ad x +bc y - ad y - bc x }{(c x +d)(c y +d)} = $$
$$ = \frac{(ad-bc)(x - y)}{(c x + d)(c y +d)} $$
然后取交比
$$\frac {Tz_1-Tz_2 }{Tz_1-Tz_4} \frac {Tz_3-Tz_4 }{Tz_3-Tz_2} = $$
$$\frac {(Tz_1-Tz_2)(Tz_3-Tz_4) }{(Tz_1-Tz_4)(Tz_3-Tz_2)} = $$
$$ = \frac {( \frac{(ad-bc)(z_1-z_2 )}{(c z_1 + d)(c z_2 +d)})( \frac{(ad-bc)(z_3-z_4)}{(c z_3 + d)(c z_4 +d)}) }{( \frac{(ad-bc)(z_1-z_4)}{(c z_1 + d)(c z_4 +d)})( \frac{(ad-bc)(z_3-z_2)}{(c z_3 + d)(c z_2 +d)})} = $$
$$ = \frac {(z_1-z_2)(z_3-z_4) }{(z_1-z_4) (z_3-z_2)} = $$
$$=\frac {z_1-z_2 }{z_1-z_4} \frac {z_3-z_4 }{z_3-z_2} $$
这就是原来的交比。 |
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