三元函数分解为3种对称函数之和

hbghlyj

S3
\begin{align*}f\left(x_1,x_2,x_3\right)&=f_1\left(x_1,x_2,x_3\right)+f_2\left(x_1,x_2,x_3\right)+2f_3\left(x_1,x_2,x_3\right)\\
f_1\left(x_1,x_2,x_3\right)&=\frac{1}{6} \left(f\left(x_1,x_2,x_3\right)+f\left(x_1,x_3,x_2\right)+f\left(x_2,x_1,x_3\right)+f\left(x_2,x_3,x_1\right)+f\left(x_3,x_1,x_2\right)+f\left(x_3,x_2,x_1\right)\right)\\
f_2\left(x_1,x_2,x_3\right)&=\frac{1}{6} \left(f\left(x_1,x_2,x_3\right)-f\left(x_1,x_3,x_2\right)-f\left(x_2,x_1,x_3\right)+f\left(x_2,x_3,x_1\right)+f\left(x_3,x_1,x_2\right)-f\left(x_3,x_2,x_1\right)\right)\\
f_3\left(x_1,x_2,x_3\right)&=\frac{1}{6} \left(2 f\left(x_1,x_2,x_3\right)-f\left(x_2,x_3,x_1\right)-f\left(x_3,x_1,x_2\right)\right)\\
\end{align*}

hbghlyj

$f_1,f_2,2f_3$分別对应下面的 3个箱子的4种 Young 表格：

hbghlyj

$f_1$是完全对称的（属于$\operatorname{Sym}^3 V$），$f_2$是完全反对称的（属于$\wedge^3 V$），而$f_3$比较难理解：

见Fulton-Harris.pdf第六章第一节： $V \otimes V \otimes V=\operatorname{Sym}^3 V \oplus \wedge^3 V \oplus$ another space. 后面会讲到another space就是$\left(\mathbb{S}_{(2,1)} V\right)^{\oplus 2}$

下一页： $\mathbb{S}_{(2,1)} V=\operatorname{Ker}\left(\wedge^2 V \otimes V \rightarrow \wedge^3 V\right)$即上面加的最后一个空间是两个它。 由$\left(v_1 \wedge v_3\right) \otimes v_2+\left(v_2 \wedge v_3\right) \otimes v_1$张成。

第78页练习6.5：

Show that$$V^{\otimes 3} \cong \operatorname{Sym}^3 V \oplus \wedge^3 V \oplus\left(\mathbb{S}_{(2,1)} V\right)^{\oplus 2}$$and$$V^{\otimes 4} \cong \operatorname{Sym}^4 V \oplus \wedge^4 V \oplus\left(\mathbb{S}_{(3,1)} V\right)^{\oplus 3} \oplus\left(\mathbb{S}_{(2,2)} V\right)^{\oplus 2} \oplus\left(\mathbb{S}_{(2,1,1)} V\right)^{\oplus 3}$$

hbghlyj

$f_3$是否对应于某个Young symmetrizer $c_\lambda$?

$f_3$是否对应于$c_{(2,1)}$?