来自人教群的一道椭圆对内圆切点弦直线被坐标轴截求最小

kuing

这里我们将椭圆方程一般化，改为 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$，其中 $a$, $b>1$，里面的圆不变。

由对称性，只需研究 $P$ 在第一象限内的情形，如图所示，设 $OP$ 的倾斜角为 $\theta$，记 $OP=p$, $OC=q$, $MN=r$。



由 $P$ 在椭圆上，有
\[\frac{(p\cos \theta )^2}{a^2}+\frac{(p\sin \theta )^2}{b^2}=1,\]
又易知
\[OC\cdot OP=OA^2\riff pq=1,\]
以及
\[OC=OM\cos \theta =MN\sin \theta \cos \theta \riff q=r\sin \theta \cos \theta,\]
由以上三式消去 $p$, $q$ 即得
\[r^2=\frac1{a^2\sin ^2\theta }+\frac1{b^2\cos ^2\theta },\]
从而由柯西不等式得
\[r^2=(\sin ^2\theta +\cos ^2\theta )\left( \frac1{a^2\sin ^2\theta }+\frac1{b^2\cos ^2\theta } \right)\geqslant \left( \frac1a+\frac1b \right)^2,\]
即
\[r\geqslant \frac1a+\frac1b,\]
取等条件为 $\tan \theta =\sqrt{b/a}$，故 $MN$ 的最小值为 $1/a+1/b$。

isee

有意思的小题目，先看看

若将外面的变成圆，里面的变成椭圆，好像也类似

其妙

设$P(x_0,y_0)$，则$AB$方程：$xx_0+yy_0=1$，

于是由柯西不等式可得，$|MN|^2=\dfrac1{x_0^2}+\dfrac1{y_0^2}=\dfrac{\dfrac1{a^2}}{\dfrac{x_0^2}{a^2}}+\dfrac{\dfrac1{b^2}}{\dfrac{y_0^2}{b^2}}\geqslant\dfrac{(\dfrac1{a}+\dfrac1{b})^2}{\dfrac{x_0^2}{b^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}}=(\dfrac1{a}+\dfrac1{b})^2$，

故$|MN|\geqslant\dfrac1{a}+\dfrac1{b}$，取等号略。

kuing

回复 3# 其妙

嗯，这是比较常规的方法，我昨晚后来也在群里提过一下，但没写出来。

群管-kuing/shq/fad 0:22:23
我是尽量几何化地做，其实用那个切点弦方程的结论做也很简单，估计你也那样玩了吧。

kuing

PS、切点弦方程的方法还能处理更一般的情形，比如说里面的也变成椭圆，这时我上面的几何法就不太好使了

其妙

回复 4# kuing
我最近没怎么注意群的消息，所以就写出来作为参考了.
几何的方法貌似和反演（$|OC|\cdot|OP|=R^2,R$为圆的半径）或者极点极线有关吧。

其妙

好像有这么一个部分相似的题：
过椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$在第一象限的点作椭圆的切线，交坐标轴于$M、N$两点，求$|MN|$的最小值。