来自人教群的一道初中求值题

kuing

这道题是错的，要改。
将已知等式相乘得
\begin{gather*}
3(x+y)(x^4+y^4)=(x^2+y^2)(x^3+y^3), \\
3(x+y)[(x^2+y^2)^2-2x^2y^2]=(x^2+y^2)(x+y)(x^2+y^2-xy), \\
(x+y)[3(x^2+y^2)^2-6x^2y^2-(x^2+y^2)(x^2+y^2-xy)]=0 ,\\
(x+y)[2(x^2+y^2)^2+xy(x^2+y^2)-6(xy)^2]=0, \\
(x+y)[2(x^2+y^2)-3xy](x^2+y^2+2xy)=0 ,\\
(x+y)^3\left( \frac32(x-y)^2+\frac12(x^2+y^2) \right)=0,
\end{gather*}
由此可得 $x+y=0$，代入条件中的第一条已知等式，只能 $x=y=0$，所求分式无意义。

kuing

之所以直接说是错题，是因为此题被指定为初中题，否则，如果允许 $x$, $y$ 为复数，那么还是可以做的。

零定义

初中竞赛题吧？应该不能算错题，因为初中有大把这样的题…

kuing

初中竞赛有讲复数么？

零定义

没讲，不过肯定讲了整体思想…

kuing

那只能说是大把这样的错题……

零定义

那竞赛题几乎都是错题了…比如说数论，初高中有学么？

爪机专用

那竞赛题几乎都是错题了…比如说数论，初高中有学么？
零定义 发表于 2013-9-3 02:55

怎能这样类比呢?
数论没学, 碰到了顶多是不会做, 而不会推出矛盾。
而上面这种题如果不知道复数而默认为实数的话就会像上面那样推出矛盾。这就是差别。

清风

此题确实是一个初中竞赛题，2013年第18届“华杯”总决赛北京赛区选拔考试（初一组第二试），答案是2或-3

kuing

回复 9# 清风

就算是在复数范围，这个答案也是不对的，由已知等式可以解出 $x$, $y$，除了上面说的 $x=y=0$ 之外，还有两个解
\[x=\frac72\pm\frac{\sqrt7}2i, y=\frac72\mp\frac{\sqrt7}2i, \]
代入所求式求得结果为 $9$。

原题目再核对一下吧，或者是网上的版本录入错误那就……

kuing

反正闲着，就照复数范围往下做一下。

由1#可知，若 $x+y=0$ 则只能推出 $x=y=0$，舍去；而当 $x+y\ne0$ 时，则只能是 $2(x^2+y^2)-3xy=0$，结合条件，我们得到方程组
\[
\left( \begin{aligned}
x^2+y^2&=3(x+y), \\
2(x^2+y^2)&=3xy,
\end{aligned} \right.
\]
等价于
\[
\left( \begin{aligned}
(x+y)^2-3(x+y)&=2xy, \\
2(x+y)&=xy,
\end{aligned} \right.
\]
解得
\[
x+y=xy=0~\text{或}~\left( \begin{aligned}
x+y&=7, \\
xy&=14,
\end{aligned} \right.
\]
前者仍然推出 $x=y=0$，舍去；由后者知 $x$, $y$ 是方程
\[z^2-7z+14=0\]
的两根。这里就可以解出楼上的结果了，但是也可以不解，由 $x^2=7x-14$ 得
\begin{align*}
x^5&=x(x^2)^2 \\
& =x(7x-14)^2 \\
& =7^2[(x-4)x^2+4x] \\
& =7^2[(x-4)(7x-14)+4x] \\
& =7^2(7x^2-38x+56) \\
& =7^2[7(7x-14)-38x+56] \\
& =7^2(11x-42),
\end{align*}
故
\[
x^6=7^2(11x^2-42x)=7^2[11(7x-14)-42x]=7^3(5x-22),
\]
对 $y$ 同理，所以
\begin{align*}
\frac{x^6+y^6}{x^5+y^5}&=\frac{7^3(5x-22)+7^3(5y-22)}{7^2(11x-42)+7^2(11y-42)} \\
& =7\cdot \frac{5(x+y)-44}{11(x+y)-84} \\
& =7\cdot \frac{5\cdot 7-44}{11\cdot 7-84} \\
& =9 .
\end{align*}

其妙

回复 11# kuing
真牛笔啊！算出来还是实数！

其妙

此题确实是一个初中竞赛题，2013年第18届“华杯”总决赛北京赛区选拔考试（初一组第二试），答案是2或-3 ...
清风 发表于 2013-9-3 15:23

搜了一下，果然答案说得对，答案是2或-3。word录入的，word答案录入错误？
只是没过程
zxxk.com/Soft/2901347.html

其妙

回复 13# 其妙
我算了一下，和k的答案一样，9.
支持k

其妙

设$x+y=a$，$xy=b$，$a_n=x^n+y^n$，则$a_{n+2}=aa_{n+1}-ba_n$，$a_1=a$，$a_2=3a$。
显然，$a^2=(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=a_2+2b=3a+2b$，即：$2b=a^2-3a$。
于是，$a_3=aa_2-ba_1=3a^2-ab$，$a_4=aa_3-ba_2=a(3a^2-ab-3b)$。
由条件$a_3=a_4$得，$3a^2-ab=a(3a^2-ab-3b)$，故$a=0$或$3a-b=3a^2-ab-3b$，
当$a=0$的时候，联立$2b=a^2-3a$，得$b=0$，则$a_n=0$，矛盾。
当$a\ne0$的时候，联立$3a-b=3a^2-ab-3b$和$2b=a^2-3a$，消去$b$后得到关于$a$的三次方程（缺二次项和一次项以及常数项）：$a^3-7a^2=0$，所以很容易解得$a=0$(舍去）或$a=7$，再代入$2b=a^2-3a$，得到$b=14$。
所以，$a_{n+2}=7a_{n+1}-14a_n=7(a_{n+1}-2a_n)$，$a_1=7$，$a_2=21$，$a_3=7^2=a_4$，$a_5=-7^3$，$a_6=-7^3\times9$，故$\dfrac{a_6}{a_5}=9$.

kuing

回复 15# 其妙

嗯，这个解法也不错。

福州小江

回复 1# kuing


    初中竞赛题竟然这么难！！服了