求函数的最大值 新课标I理(2013年全国卷) 第16题

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新课标I理 第16题

16、若函数$f(x)=(1-x^2)(x^2+ax+b)$的图像关于直线$x=-2$对称，则$f(x)$的最大值是______。

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by 地狱的死灵 kkkkuingggg.5d6d.net/thread-1647-1-1.html


不建议求导，还是用均值方便，
由图像性质，将其图像向右平移2个单位变为偶函数。

$\begin{array}{l}
f(x - 2)
& =  - (x + 3)(x + 1)(x - 1)(x - 3) \\
   &= (9 - x^2 )(x^2  - 1) \\
   &\le \frac{(9 - x^2  + x^2  - 1)^2}{4} \\
   &= 16 \\
\end{array}$

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地狱的死灵 平移的解法是神一般的变换。

偶当时的做法是

新课标I理 第16题

函数$f(x)=(1-x^2)(x^2+ax+b)$关于$x=-2$对称，

而函数$f(x)$过$(1,0),(-1,0)$，故$(-5,0),(-3,0)$在函数$f(x)$上。

亦$x^2+ax+b=(x+3)(x+5)=x^2+8x+15$，所以$f(x)=(1-x^2)(x^2+8x+15)$。

不想整不等式怎么“办”了，直接求导得
\begin{align*}
  f'(x)&=(-2x)(x^2+8x+15)+(1-x^2)(2x+8)\\
  &=-4x^3-24x^2-28x+8\\
  &=-4(x^3+6x^2+7x-2)\\
  &=-4(x+2)(x^2+4x-1)
\end{align*}

令$f'(x)=0$，有$x_1=-2-\sqrt5,x_2=-2,x_3=-2+\sqrt5$，

从而$f(x)_{\max}=\max\{f(x_1),f(x_3)\}$。

注意这里的$x_1,x_3$满足$x^2+4x-1=0$，

于是$x^2+4x=1,x^2=1-4x$，则

\begin{align*}
  f(x)_{\max}&=4x(1-4x+8x+15)\\
  &=16x(4+x)\\
  &=16(x^2+4x)\\
  &=16
\end{align*}

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事实上，楼上解法亦有改进之处（当时也这么想的，可惜错了一个符号，无奈之下，求导）


改进计算方案：

函数$f(x)=(1-x^2)(x^2+ax+b)$关于$x=-2$对称，

而函数$f(x)$过$(1,0),(-1,0)$，故$(-5,0),(-3,0)$在函数$f(x)$上。

亦$x^2+ax+b=(x+3)(x+5)=x^2+8x+15$，所以
\begin{align*}
  f(x)&=(1-x^2)(x^2+8x+15)\\
  &=(1-x)(1+x)(3+x)(5+x)\\
  &=-(x^2+4x-5)(x^2+4x+3)\\
  &=-[(x^2+4x)^2-2(x^2+4x)-15]\\
  &=-(x^2+4x-1)^2+16\\
  &\leqslant 16
\end{align*}

hongxian

回复 2# isee

好解!

其妙

2楼是思想妙；3楼是思维常规，但运算技巧妙；4楼是化归思想、换元法妙（初中有成等差数列四个因数之积的设法，化归成平方差公式或换元法，然后可配方）
2楼如何想到才自然？（均值如何想到？可能是灵感）如果没有灵感，怎么想得到？
首先如果能从初中代数知识联想的话就好办了：
（初中题目）化简$(a+2)(a+4)(a+6)(a+8)$，并求最小值。（要求用初中很容易看懂的方法）
解：原式$=(a+2)(a+8)(a+4)(a+6)=(t+16)(t+24)=(m-4)(m+4)=m^2-16\geqslant-16$
其中$t=a^2+10a,m=t+20=a^2+10a+20$。当且仅当$m=t+20=a^2+10a+20=0$取得最小值$-16$
仿照上述做法，
\begin{align*}
  f(x)&=(1-x^2)(x^2+8x+15)\\
  &=-(x-1)(x+1)(x+3)(x+5)\\
  &=-(x-1)(x+5)(x+1)(x+3)\\
  &=-(t-5)(t+3)\\
  &=-(m-4)(m+4)\\
&=16-m^2\\
  &\leqslant 16
\end{align*}
取等号略。
很容易看出是的平移一下根本不改变答案（16或-16），而且还能用均值（2楼）。
$-(t-5)(t+3)=(5-t)(t+3)=$可用均值，平移后$-(m-4)(m+4)=(4-m)(m+4)$也很好用均值，更妙的是平方差公式，这对初中学生来说一点难度都没有。

其妙

下面只需掌握平方差公式即可：
（初中题目）化简$(a+2)(a+4)(a+6)(a+8)$，并求最小值。
下面用高中四个数成等差数列的对称设法：设这四个数为$u-3d,u-d,u+d,u+3d$
解：原式$=(b-3)(b-1)(b+1)(b+3)=(b^2-9)(b^2-1)=(c-4)(c+4)=c^2-16\geqslant-16$
其中$b=a+5,c=b^2-5=a^2+10a+20$。当且仅当$c=a^2+10a+20=0$取得最小值$-16$
仿照上述做法，
\begin{align*}
  f(x)&=(1-x^2)(x^2+8x+15)\\
&=-(x-1)(x+1)(x+3)(x+5)\\
  &\cdots\\
&=16-m^2\\
  &\leqslant 16
\end{align*}
取等号略。

chen、bin

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