又一面积证明题

青青子衿

证明图中的抛物线弧与直线所围成的面积相等。
(PS:图中有覆盖部分)

kuing

具体题目可以表达清楚点吗？MN 与 AB 平行吗？

如果是平行的话，设向上的抛物线为 $y=ax^2$，任取平行于 $AB$ 且介于 $MN$ 和 $AB$ 之间的直线 $L:y=kx+b$，设 $L$ 被向上的抛物线截得的弦张为 $s_1$，被斜向的抛物线截得的弦长为 $s_2$。
由弦长公式易证 $s_1$ 可以表示成 $f_1(b)=\sqrt{m_1b+n_1}$ 的形式，又显然 $s_2$ 亦能表示成 $f_2(b)=\sqrt{m_2b+n_2}$ 的形式，而当 $L$ 为 $MN$ 及 $AB$ 两个位置时都有 $f_1(b)=f_2(b)$，可见 $f_1(b)$ 和 $f_2(b)$ 必然是恒等的，即 $L$ 被两抛物线所截的弦长总是相同的，从而由祖X原理知两个面积相同。

longzaifei

具体题目可以表达清楚点吗？MN 与 AB 平行吗？

如果是平行的话，设向上的抛物线为 $y=ax^2$，任取平行于 $ ...
kuing 发表于 2014-2-1 21:32

方法非常好！！！
我就是有点没明白。斜向的抛物线的弦长怎么显然表示成$f_2(b)=\sqrt{m_2b+n_2}$

kuing

方法非常好！！！
我就是有点没明白。斜向的抛物线的弦长怎么显然表示成$f_2(b)=\sqrt{m_2b+n_2}$
longzaifei 发表于 2014-2-2 14:41

hbghlyj

阿基米德于公元前3世纪证明了 抛物线与直线之间的面积是其内切三角形的面积的 $4/3$ 倍。

阿基米德将抛物线弓形分割成任意数量的三角形，三角形的面积则形成了一个等比数列。

如图所示，每一个三角形都以同样的方式内接于一个抛物线弓形，比如蓝色三角形被整个弓形面积所内接，绿色三角形则内接于蓝色三角形占据后剩下面积的弓形中。

每个绿色三角形的面积是蓝色三角形面积的八分之一。因为绿色三角形的宽度为一半，高度的四分之一。

每个黄色三角形的面积是绿色三角形的八分之一，每个红色三角形的面积是黄色三角形的八分之一，依此类推。 使用穷竭法，可以得出抛物线段的总面积为${\displaystyle {\text{S}}\;=\;T\,+\,2\left({\frac {T}{8}}\right)\,+\,4\left({\frac {T}{8^{2}}}\right)\,+\,8\left({\frac {T}{8^{3}}}\right)\,+\,\cdots .}$

这里的 $T$ 代表大蓝色三角形的面积，第二项代表两个绿色三角形的总面积，第三项代表四个黄色三角形的总面积，依此类推。 可以很容易的得出
${\displaystyle {\text{S}}\;=\;\left(1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots \right)T.}$
等比数列—
${\displaystyle 1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots \;=\;{\frac {4}{3}}.}$