转，解题群一个简单三角不等式

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山东 张--(4---209)  11:38:13
麻烦帮忙看看这个题：

求证在锐角三角形中，tanAtanB不小于tan(A/2+B/2)
设$x=\frac{A+B}{2}>\frac{\pi}{4},y=\frac{A-B}{2}$
那么不等式等价于$\frac{\tan^2{x} -\tan^2{y} }{1-\tan^2{x}  \tan^2{y} }\ge \tan{x}$
即要证明$\tan^2{x} +\tan ^3{x}\tan^2{y}\ge \tan{x} +\tan^2{y} $
显然有$\tan^2{x} \ge \tan{x} $,$\tan^3{x} \tan^2{y}\ge \tan^2{y}$

叶卢庆

设 $A+B=\pi-C$,其中 $C$ 是一个给定的锐角,是一个常数.则我们只用证明
\begin{equation}
  \tan A\tan (\pi -C-A)\geq \cot \frac{C}{2},
\end{equation}
即证明
\begin{equation}
  \tan A\tan (C+A)\leq -\cot\frac{C}{2}.
\end{equation}
其中 $A$ 的取值范围是 $(\frac{\pi}{2}-C,\frac{\pi}{2})$.令 $f(A)=\tan
A\tan (C+A)$.可得
$$
f'(A)=\frac{\sin (C+A)\cos (C+A)+\sin A\cos
  A}{\cos^2A\cos^2(C+A)}=\frac{-\sin B\cos B+\sin A\cos
  A}{\cos^2A\cos^2B}=\frac{\sin 2A-\sin 2B}{2\cos^2A\cos^2B}.
$$
可见,当 $\sin 2A\geq \sin 2B$ 时函数 $f(A)$ 递增,当 $\sin 2A\leq \sin
2B$ 时,函数 $f(A)$ 递减.于是,$f(A)$ 的极值只可能会在 $\sin 2A=\sin 2B$时达到,也就是 $A=B$ 或者 $A+B=\frac{\pi}{2}$ 时达到.当然,$A+B=\frac{\pi}{2}$ 这种情形只可能在 $C=\frac{\pi}{2}$ 时才可能实现,而当 $C=\frac{\pi}{2}$ 时,
$$
\tan A\tan B=\tan A\cot A=1=\tan \frac{A+B}{2},
$$
此时题目中的不等式显然成立.当 $C\neq \frac{\pi}{2}$ 时,显然只能让$A=B$ 才可能让 $f(A)$达到极值,此时可得
$$
f(A)=\tan \frac{\pi-C}{2}\tan \frac{\pi+C}{2}=-\cot^2 \frac{C}{2}\leq -\cot\frac{C}{2}.
$$
综上可见,题目中的不等式成立.