2013陕西省竞赛中的一道最值试题

aishuxue

若$0\leqslant  x_i\leqslant1$,$i=1,2,3,4,5$,则$M=|x_1-x_2|^3+|x_2-x_3|^3+|x_3-x_4|^3+|x_4-x_5|^3+|x_5-x_1|^3$的最大值是______.

其妙

kuing

记 $x_6=x_1$, $x_7=x_2$，下面先证明必定存在 $i\in \{1,2,3,4,5\}$ 使得 $(x_i-x_{i+1})(x_{i+1}-x_{i+2})\geqslant0$。

若不然，如果对所有 $i\in \{1,2,3,4,5\}$ 都有 $(x_i-x_{i+1})(x_{i+1}-x_{i+2})<0$，则有
\[\prod_{i=1}^5(x_i-x_{i+1})(x_{i+1}-x_{i+2})<0,\]
即
\[\left( \prod_{i=1}^5(x_i-x_{i+1}) \right)^2<0,\]
矛盾。

由此，由轮换对称性，不妨设 $(x_1-x_2)(x_2-x_3)\geqslant0$，则由 $x_i\in[0,1]$ 有
\begin{align*}
\text{原式}&=\sum_{i=1}^5\abs{x_i-x_{i+1}}^3\\
&\leqslant 3+\abs{x_1-x_2}^3+\abs{x_2-x_3}^3\\
&\leqslant 3+(\abs{x_1-x_2}+\abs{x_2-x_3})^3\\
&=3+\abs{x_1-x_3}^3\\
&\leqslant 4,
\end{align*}
当 $x_1=x_2=x_4=0$, $x_3=x_5=1$ 时取等。

其妙

回复 3# kuing
，这个看起来容易懂一些

kuing

回复 4# 其妙

嗯，表达也得有技巧，你贴的那个虽然我大概知道他的意思，但是表达得有点zao，至少我看第一遍时晕头转向。