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教师－王(8506****) 16:38:37
请教一题，希望不要用复杂的求导
教师－王(8506****) 16:52:25
答案是
比较恐怖
先求
\[y=\bigl(1+\sqrt x\bigr)\sqrt{\frac x{x-1}}\quad (x>1)\]
的最小值。令 $\sqrt x=1+t$, $t>0$，则
\[y^2=\bigl(1+\sqrt x\bigr)^2\frac x{x-1}=\frac{\bigl(1+\sqrt x\bigr)x}{\sqrt x-1}=\frac{(2+t)(1+t)^2}t=\frac2t+5+4t+t^2,\]
待定 $\lambda>0$，由均值有
\[\frac2t+5+4t+t^2=\frac2t+2\lambda^2t+(t+2-\lambda^2)^2-(2-\lambda ^2)^2+5\geqslant 4\lambda -(2-\lambda^2)^2+5,\]
为取等，令 $\lambda t=1$ 且 $t+2-\lambda ^2=0$，消 $t$ 并因式分解得$(1+\lambda)(\lambda^2-\lambda -1)=0$，故解得
\[\lambda =\frac{\sqrt5+1}2,\]
从而
\[y^2\geqslant 2\bigl(\sqrt5+1\bigr)-\left( \frac{1-\sqrt5}2 \right)^2+5=\frac{11+5\sqrt5}2,\]
即
\[\frac1y\leqslant \sqrt{\frac2{11+5\sqrt5}},\]
上式右边就是 $a$ 的最大值。
（注：与提问人提供的答案是相同的，但是我觉得这个结果也蛮简洁，答案也一样有重根号，所以就懒得化简过去了） |
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