[综合]某网友问的几何向量最值

kuing

★Miss ***** 2014-3-27 9:19:31

用神马方法？
★Miss ***** 2014-3-27 9:19:47
我用向量分解做不出

\(\require{cancel}\)
由 $\bigl|\lambda\cdot\vv{QP}+\vv{QM}\bigr|$ 的几何意义知，$f(m)$ 实际上就是点 $M$ 到直线 $PQ$ 的距离。

连结 $AM$ 交 $PQ$ 于 $K$，一方面
\[\frac{\S{APQ}}{\S{ABC}}=\frac{AP}{AB}\cdot\frac{AQ}{AC},\]
另一方面
\[\frac{\S{APQ}}{\S{ABC}}=\frac{\S{AKP}}{\S{ABC}}+\frac{\S{AKQ}}{\S{ABC}}
=\frac12\cdot\frac{\S{AKP}}{\S{AMB}}+\frac12\cdot\frac{\S{AKQ}}{\S{AMC}}
=\frac12\cdot\frac{AP}{AB}\cdot\frac{AK}{AM} +\frac12\cdot\frac{AQ}{AC}\cdot\frac{AK}{AM},\]
因此
\[\frac{AP}{AB}\cdot\frac{AQ}{AC}= \frac12\cdot\frac{AK}{AM}\left(\frac{AP}{AB}+\frac{AQ}{AC}\right),\]
即
\[\frac{AM}{AK}=\frac12\left(\frac{AB}{AP}+\frac{AC}{AQ}\right)
=\frac12\left(1+\frac1m+1+\frac1n\right)=\frac54,\]
由此可见 $K$ 为定点，且
\[KM=\frac15AM=\frac12,\]
$\xcancel{故 f(m)\leqslant KM=1/2，当 PQ\perp AM 时取等。}$

kuing

咦，等等，似乎取等是个问题

kuing

回复 2# kuing

$f(m)=KM$ 时只能是 $PQ\perp AM$ 时，但画图看了一下并不存在垂直的情形：

由条件知 $P$, $Q$ 在两直角边上，且不含端点，既然没垂直，那么 $f(m)$ 的范围应该是 $(a,b)$ 的形式，取不到最值，当 $P\to B$ 时趋向下确界，$Q\to C$ 时趋向上确界。

其妙

，改为$P,Q$可以在延长线上的话，那么就可以如下做法？

设$AM$交$PQ$于点$K$，则$\overrightarrow{AM}=\dfrac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\dfrac12(\dfrac{m+1}{m}\overrightarrow{AP}+\dfrac{n+1}{n}\overrightarrow{AQ})$，

其系数和$\dfrac12(\dfrac{m+1}{m}+\dfrac{n+1}{n})=1+\dfrac1{2m}+\dfrac1{2n}=1+\dfrac1{4}=\dfrac5{4}$，

于是，$\dfrac45\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AK}$，即$\overrightarrow{KM}=\dfrac15\overrightarrow{AM}$，

而$|\lambda\cdot\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{QM}|=|\overrightarrow{HQ}+\overrightarrow{QM}|=|\overrightarrow{HM}|$，

作$MH\perp{PQ}$于$H$，则$f(m)=|\overrightarrow{HM}|\leqslant|\overrightarrow{KM}|=\dfrac15|\overrightarrow{AM}|=\dfrac12$。

kuing

回复 4# 其妙

可以，前面的这个向量的共线方法我也知道，不过我比较喜欢玩面积法[得意]

乌贼

尼玛，不知道$\bigl|\lambda\cdot\vv{QP}+\vv{QM}\bigr|$的最小值$f(m)$的几何意义就是点$M$到直线$PQ$的距离。
如图建立坐标系，由题意知$P(0,\dfrac{4m}{m+1}),Q(\dfrac{3n}{n+1})$，过$P,Q$的直线方程为：$\dfrac{4m}{m+1}x+\dfrac{3n}{n+1}y=\dfrac{12mn}{(m+1)(n+1)}$
$f^2(m)=\dfrac{|\dfrac{4m}{m+1}\times\dfrac32+\dfrac{3n}{n+1}\times2-\dfrac{12mn}{(m+1)(n+1)}|^2}{{(\dfrac{4m}{m+1})^2+(\dfrac{3n}{n+1})^2}}=\dfrac{36(m+n)^2}{16m^2(n+1)^2+9n^2(m+1)^2}$
……运算不下去

kuing

尼玛，不知道$\bigl|\lambda\cdot\vv{QP}+\vv{QM}\bigr|$的最小值$f(m)$的几何意义就是点$M$到直线$PQ$的距离。
乌贼 发表于 2014-3-28 00:54

$\bigl|\lambda\cdot\vv{QP}+\vv{QM}\bigr| = \bigl|\vv{MQ}+(-\lambda)\vv{QP}\bigr|$，令 $(-\lambda)\vv{QP}=\vv{QS}$，则 $\bigl|\lambda\cdot\vv{QP}+\vv{QM}\bigr|=\bigl|\vv{MS}\bigr|$，而当 $\lambda$ 取遍 $\mbb R$ 时，点 $S$ 取遍直线 $PQ$ 上的点，所以 $f(m)$ 即 $\bigl|\vv{MS}\bigr|$ 的最小值亦即是点 $M$ 到直线 $PQ$ 的距离。

kuing

回复 6# 乌贼

运算下去完全没问题，由 $1/m+1/n=1/2$ 得 $m/n=m/2-1$，故
\begin{align*}
f^2(m)&=\frac{36(m+n)^2}{16m^2(n+1)^2+9n^2(m+1)^2}\\
&=\frac{36(m/n+1)^2}{16(m+m/n)^2+9(m+1)^2}\\
&=\frac{36(m/2-1+1)^2}{16(m+m/2-1)^2+9(m+1)^2}\\
&=\frac9{5(9-6/m+5/m^2)},
\end{align*}
二次函数 $9-6x+5x^2$ 对称轴是 $x=3/5$，而由 $1/m+1/n=1/2$ 知 $m>2$，即 $1/m<1/2<3/5$，所以 $1/m$ 取不到对称轴 $3/5$，这也应了上述不能垂直的结论，只能是当 $m\to2^+$ 时 $f(m)$ 趋向上确界 $6/\sqrt{145}$。

乌贼

回复 8# kuing

乌贼

回复 7# kuing
你一点就明白，自己看却不知道，主要是对向量不熟

第一章

建议把$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}$改成$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1$，或是另外找一个三角形（最好还是直角的，方便计算中线长）