续组合问题

tommywong

因为我想看看有没有人明白这个方法，所以请大家做一做题目。
设$x_i$为非负整数，求满足以下方程的解数：
(1)$2x_1=5$
(2)$x_1+2x_2=80$
(3)$2x_1+3x_2+5x_3=100$

(1)0
(2)41
(3)184
这些答案我用自己的方法和c++验证过了，应该没问题。

tommywong

我再解释一下X不是非负整数的时候把$C_X^0$取0的原因。

$X=k_1a_1+k_2a_2+...+k_ma_m,a_1=\frac{X-k_2a_2-k_3a_3-...-k_ma_m}{k_1}$

这时$a_2,a_3,...,a_m$取非负整数，当$\frac{X-k_2a_2-k_3a_3-...-k_ma_m}{k_1}$符合$a_1$的条件时取1，不符合$a_1$的条件时取0。

所以我定义的是$f(x)=C_x^0$在x为非负整数时取1，不是非负整数时取0。

tommywong

我害你们连第一题都做不出来了吗？哈哈哈哈

(1)
$C_{\frac{5}{2}}^0=0$

战巡

回复 3# tommywong


只是对这类东西没啥兴趣
反正对整数没啥好感，对不连续的东西都没啥好感，喜欢积分远多于和号

最后奉劝一句，尽量不要定义$C_{\frac{5}{2}}^0=0$之类的东西，与主流定义不兼容，人家明明有$C_{\frac{5}{2}}^0=\frac{\Gamma(\frac{5}{2}+1)}{\Gamma(1)\Gamma(\frac{5}{2}+1)}=1$，你硬是要给弄成$0$，很容易误解的

tommywong

回复 4# 战巡

感谢关注

在$x_1+x_2+x_3=\frac{9}{2}$上用隔板法的结果应该是0吧，冲突在这里已经开始了

不然就定义个$D_{\frac{5}{2}}^0=0$之类的

tommywong

为什么我现在才想到......

(2)

$x_1=2u_1+r_1,x_2=u_2$

$2u_1+r_1+2u_2=80,r_1=0$

$u_1+u_2=40$

$C_{41}^1=41$