来自人教群的函数题 x|x-a| 与 |x-1| 三个不同交点

kuing

爱好者-学习(3308*****)  20:38:20

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这种题通常是分类讨论或者画图处理，我就不写了，试点别的。

显然交点的横坐标必然是正的，于是等价于 $x^2(x - a)^2 = (x - 1)^2$ 有三个不同的正数根，因式分解为
\[ \bigl(x^2 - (a+1)x + 1\bigr)\bigl(x^2 - (a-1)x - 1\bigr) = 0.\]

如果 $a=1$，则上式化为 $(x-1)^3(x+1)=0$，不符合条件，故此 $a\ne1$。

下面证明当 $a\ne1$ 时不会存在某个正根同时使两个因式为 $0$，用反证法，假设 $x_0>0$ 满足 $x_0^2 - (a+1)x_0 + 1=0$ 且 $\xcancel{x_0^2 - (a-1)x_0 + 1 = 0}$ （更正为 $x_0^2 - (a-1)x_0 - 1 = 0$），两式相减得到 $x_0=1$，回代即得 $a=1$，矛盾。

由韦达定理知 $x^2 - (a-1)x - 1 = 0$ 必然有两根且一正一负，于是问题最终等价于 $a\ne1$ 且 $x^2 - (a+1)x + 1 = 0$ 有两个不等正根，易得 $a > 1$。

longzaifei

"用反证法，假设....."后面的第二个式子出现问题！！！！！！！！！

kuing

回复 2# longzaifei

哦，是弄错了，等会改一下，原来是存在的。

踏歌而来

回复 2# longzaifei

没有问题。
只是考试时，省略了一些步骤是要扣分的。

kuing

回复 2# longzaifei

改正了，谢谢2#

其妙

kk也很喜欢用代数的方法超过图形的方法，只因为代数的方法更加严谨？

kuing

回复 6# 其妙

不是，我只是为了打破常规……

其妙

回复  其妙

不是，我只是为了打破常规……
kuing 发表于 2014-4-5 14:26

但也有不少人提出：要用自然的解法，还说要用什么通性通法，
或者说淡化特技，注重通法，
或说要“自然，不要突然”，
如何看待这些观点？

kuing

回复 8# 其妙

不需要看待这些观点啊，我现在只是自娱自乐而已，至于别人怎么看，那是别人的事。