两道两圆相切的题

tommywong

sq.k12.com.cn/discuz/thread-704695-1-1.html
求证BC=BM

sq.k12.com.cn/discuz/thread-704698-1-1.html
求证$MN^2=BN\cdot PN$

isee

题目：如图，AB是半圆O的直径，⊙O′切AB、弧AC及CD于M、F、E，且CD⊥AB于D。求证：BC＝BM。






很久没见到这种风格的题了，看图像是非常老的书了。
想到一种麻烦的方法

作公切线，证：F，E，B三点共线。

然后知BC是 圆CFE 的切线，于是：$BC^2=BE\cdot BF=BM^2$


有意思，此题给出内切圆O'的具体作法。

战巡

回复 1# tommywong


第二题:
设$AB, CD$交于$H$，连$AN, AC, CB, AM$
显然$AN⊥BN$，有$MN^2=AM^2-AN^2$
又显然$CD⊥AB$，$BP·BN=BH·BA$，$BN^2=BA^2-AN^2$，这两式相减得到
\[BN^2-BN·BP=BA^2-BA·BH-AN^2\]
\[BN·PN=BA·AH-AN^2\]
射影定理可知$AC=BA·AH=AM$
则有$BN·PN=AM^2-AN^2=MN^2$

乌贼

回复 2# isee
证$F,E,B$三点共线。
过$F$作公切线$FP$交$DC$延长线于$P$，连接$BF,PO'$分别交$DC,BF$于$E',Q$。
$\angle FPD=\angle FOA\riff\angle QPD=\angle QBD\riff Q,P,B,D$四点共圆
$\riff\angle PQE'=90^\circ\riff\triangle PFQ\cong\triangle PE'Q\riff PE'=PF=PE\riff E',E$为同一点。

另如何知$BC$是 圆$CFE$的切线？

isee

回复 4# 乌贼


    $\angle BCD =\angle BAC =\angle BFC$，均为弧BC度数的一半。

乌贼

回复 5# isee
谢谢，在楼上提示下，我是这样证明的
连接$CF、AC,AC$交$C、F、E$外接圆于$K$。
$\angle FKC+\angle FCK=\angle FEC+\angle DBE=90^\circ\riff CK$为外接圆直径，$BC$为外接圆切线，有
$BC^2=BE\cdot BF=BM^2$

乌贼

尼玛，这些切线等长。

kuing

回复 7# 乌贼

嗯，根轴……

乌贼

回复 4# 乌贼
也可以这样证$F,E,B$三点共线。
连接$FB$交圆$O'$于$E'$，连接$FM,FO,O'M,O'E'$。
$\angle O'FB=\angle O'E'F=\angle OBF\riff O'E'DM$为正方形$\riff DE'=DE\riff E',E$为同一点。