一道有理数的最值的问题

郝酒

$f(x)=\left\{ \begin{matrix}
   x,x 是无理数 \\
   \frac{q+1}{p}  x是有理数，既约表示是\frac{q}{p}  \\
\end{matrix} \right.$
求$f(x)$在$\left( \frac{7}{8},\frac{8}{9} \right)$上的最大值.

realnumber

$f(\frac{8}{9})=1$,所以不需要考虑区间中的无理数．
又当$\frac{n}{m}<\frac{8}{9},(m,n)=1,m>9$时，有$\frac{n+1}{m}<\frac{8+1}{9}$.
如此只需要考虑如下形式的$x$,$x=\frac{n}{m},(m,n)=1,m<9$,没几个，穷举可以完成．

郝酒

啊，题打错了，是开区间的。
另外 m不需要小于9的。

realnumber

你得说下题目来源，这题目很有意思
\[因为\frac{b}{a}\le \frac{b+d}{a+c}\le \frac{d}{c},a,b,c,d\in R^+,\]
\[所以\frac{7}{8}\le \frac{15}{17}\le \frac{8}{9},a,b,c,d\in R^+\]
\[容易得f(\frac{15}{17})=\frac{16}{17}>\frac{8}{9}\]
所以无需考虑区间中的无理数．
\[又\frac{16}{17}－\frac{8}{9}＝\frac{8}{153}>\frac{1}{20}\]
\[所以无需考虑诸如\frac{n}{m},(m,n)=1,m\ge 20 ,分母为10,11,...,19的已经可以穷举了．当然应该有改进这个的办法．\]

realnumber

同事的想法更好所求数一定为$\frac{m-2}{m}$．

郝酒

谢谢，是奥赛小丛书里的一道题。
我觉得应该有背景，是一道高等题改的。

郝酒

回复 5# realnumber

我也是这个思路，

设$x = 1 - \frac{n}{m}$
当$n=2,3,\cdots$时，确定$x$的范围$8n<m<9n$
在这个范围里的$m$会使$\frac{n}{m}$是既约分数.所以$f(x)=1-\frac{n-1}{m}=1-\frac{n-1}{8n+k},(1\leq k \leq n)$
可以知道当$n=2$是，$f(x)$是最大的.

其妙

回复 7# 郝酒
好题！最后答案是多少呢？
此题预测是2015年的自主招生试题！

郝酒

$\frac{16}{17}$吧。