已知集合$M=\{1,2,3,\cdots,100\}$，$A$是$M$的非空子集

isee

题干：已知集合$M=\{1,2,3,\cdots,100\}$，$A$是$M$的非空子集，
把集合$A$中各元素之和记为$S(A)$，则$S(A)$所有不同的取值个数为_____.


附上原图片版（请教一下第2空），先不上结果。
不过，凭感觉，找出最小的1，和最大的5050，似乎就知道结果了。严格过程还未有……

战巡

回复 1# isee


这个挺容易证明的吧......
对于$1$到$100$的数显然
对于大于$100$的数$n$，如此构造即可：
令$n_1=n-100$，如果$n_1> 99$，令$n_2=n_1-99$，如果$n_2>98$，令$n_3=n_2-98$，如此往复，直到不满足为止，设最后一个为$n_k$，会有$n_k=n_{k-1}-(100-k+1)$且$0<n_k\le 100-k$
那么有$n=100+99+...+100-(k-1)+n_k$，显然$n_k\le 100-k$是一个前面没有用过的数字

isee

回复 2# 战巡


    ，脑袋跟不上节奏，容我理解理解

＝＝＝

标答结果：6；5050

isee

终于明白了战巡表达式的意思了。


不过，我是反向进行“操作”的

最大：$A=M=\{1,2,3,\cdots,100\},S(A)=5050$

将M中的
1去掉得新A，5049；
2去掉得新A，5048；
3去掉得新A，5047；
……………………………
100去掉得新A，4950；此时$A=\{1,2,3,\cdots,99\},S(A)=4950$；

同前操作，得4949，……，如此重复，直到最小 1；而$1 \leqslant S(A)\leqslant 5050$

即$S(A)$的不同取值为1，2，3，4，5，……，5050，共5050个。

本质上如2楼一样，只是一个式子表达，一个文字叙述（还没说清晰呢）。