三次函数一定有对称中心，

realnumber

$y=ax^3+bx^2+cx+d,a不为0$,
作代换$x=x'-\frac{b}{3a}$,那么就能消去２次项．再上或下平移，就能消去常数项．这样就为奇函数．
而４次或以上以上函数，一般情景下无法同时消去偶数次或奇数次项．

kuing

《数学空间》2011第6期：pep.com.cn/rjwk/gzsxsxkj/2011/sxkj6/sxkj6ts/201109/t20110920_1069740.htm

其妙

三次函数较简单，也可以搞二阶导数为零。

wenshengli

回复 1# realnumber
增根变换

realnumber

回复 4# wenshengli


   google和百度都没搜索到＂增根变换＂，确定这个名称？

其妙

随便起一个名字就可以啦！，我还可以起“平移变换”的名称呢！甚至“泰勒变换”呢！（因为此变换的一种方法就是利用泰勒展开式）

wenshengli

回复 5# realnumber
这个见李長明  周焕山《初等数学研究》高等教育出版社  p200 差根变换  倍根变换  倒根变换  所以应该是“差根变换”

其妙

回复  realnumber
这个见李長明  周焕山《初等数学研究》高等教育出版社  p200 差根变换  倍根变换  倒根 ...
wenshengli 发表于 2014-5-24 10:10

差根变换？随便作一个差可以么？
所以起名字难以周全。
纵观起名，1、名字和内容几乎搭不上边，例如《石头记》，好像也有丁点关系；
或者《红与黑》；
2、名字和内容可以搭上关系：《西游记》；
3、名字和内容部分搭上关系：《水浒传》

其妙

转网友的：

其妙

来一个练习题（网友的）：

其妙

isee

十多年后来了个回旋镖——源自知乎提问区——

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三次函数有且只有一个对称中心.

设三次函数为 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\,(a\neq 0)$ ，则 $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ 为二次函数，由二次函数是轴对称的，易知 \begin{gather*}
f'\left(-\frac b{3a}-x\right)=f'\left(-\frac b{3a}+x\right)
\end{gather*} 逆向求原函数（即两边积分） \begin{gather*}
\left(-f\left(-\frac b{3a}-x\right)\right)'=\left(f\left(-\frac b{3a}+x\right)\right)'\\[1ex]
f\left(-\frac b{3a}+x\right)+f\left(-\frac b{3a}-x\right)=C\tag{01}
\end{gather*} 其中 $C$ 为待定常数. 在 $(01)$ 式中令 $x=0$ ，便得 $C=2f\left(-\frac b{3a}\right)$ .

另一方面，由 $(01)$ 式知 $f(x)$ 对称中心为 $\left(-\frac{b}{3a},f\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)$ .

倘若三次函数还有不同的对换中心，设为 $(m,n)$ ， $m\neq-\frac{b}{3a}$ ，则有 \begin{gather*}
f(m-x)+f(m+x)=2n\\[1ex]
\left(f(m-x)+f(m+x)\right)'_x=\left(2n\right)'_x\\[1ex]
f'(m-x)=f'(m+x)
\end{gather*} 这表明直线 $x=m$ 是 $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ 的对称轴，所以 $m=-\frac{b}{3a}$ 这与 $m\neq-\frac{b}{3a}$ 矛盾.

因此，三次函数有且仅有一个对称中心 $\left(-\frac{b}{3a},f\big(-\frac{b}{3a}\big)\right)$ .