求5元5次方程的全部实数解

零定义

回复 17# realnumber
我知道啊

零定义

回复 16# kuing
额...我有想过不等式，不过是奔着幂平均去了...

零定义

这样看来，推广到$n$次都有$x_1=x_2=x_3=\cdots=x_n$？

kuing

回复 23# 零定义

奇数次可以，偶数的话可能未必

其妙

这种题是不是可以两两作差，得到$C_5^2=10$个等式，然后假定$x_1>x_2$，再在$10$个等式中选取若干个，就会 ...
其妙 发表于 2013-9-25 18:30

按13楼的想法终于成功（希望各位检查一下有无错误），没想到在编辑18楼的解答时，各位已经发了几次言并翻页了啦!，为了省的翻页，将18楼的再次复制到此页，不是灌水啊！
求方程组的所有实数解。下标写起来太难写了，改了一下
\begin{aligned}
(a+b+c)^5&=3d…………(1)\\
(b+c+d)^5&=3e…………(2)\\
(c+d+e)^5&=3a…………(3)\\
(d+e+a)^5&=3b…………(4)\\
(e+a+b)^5&=3c…………(5)
\end{aligned}
可以利用这个式子：$x^5-y^5=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)$，
其中$g(x,y)=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4=(x+y)(x^3+y^3)+x^2y^2\geqslant0$
或者$g(x,y)=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4=(x+y)^2(x^2-xy+y^2)+x^2y^2\geqslant0$
当然也可以直接利用$f(t)=t^5$的单调性。

利用公式$x^5-y^5=(x-y)g(x,y)$，其中$x>0,y>0,g(x,y)=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4=(x+y)^2(x^2-xy+y^2)+x^2y^2>0$，

解：  先假设$a>b$，则$(3)-(4)$得：$3(a-b)=(c-a)g(x,y)>0$，$c-a>0$，故$c>a>b$……（*）；

再$(5)-(3)$得：$3(c-a)=(a+b-c-d)g_1(x,y)>0$，故$a+b-c-d>0$，$b-d>c-a>0$，故$b>d$，

      由（*）式得：$c>a>b>d$……（**）；

继续$(4)-(1)$得：$3(b-d)=(d+e-b-c)g_2(x,y)>0$，故$d+e-b-c>0$，$e-c>b-d>0$，故$e>c$，

     由（**）式得：$e>c>a>b>d$……（***）；

最后$(2)-(5)$得：$3(e-c)=(c+d-e-a)g_3(x,y)>0$，故$c+d-e-a>0$，$d-a>e-c>0$，故$d>a$，

     这与由（***）式:$a>$$b$$>d$矛盾。

故假设$a>b$不成立，同理也可得，假设$b>a$也不成立，于是$a=b$。

同理，$a=b=c=d=e$。

其妙

回复 25# 其妙
是不是像长篇大论，吓坏了吧

isee

原书没过程和答案啊？
其妙 发表于 2013-9-25 17:50

   
单老师的解法就是14楼的方法（书中附的答案）。

你的解法应该也行，粗看一下。



此是完美解决，人多力量大啊

其妙

是的，太长了，看不下去。