$(f,g)=1$，$(f,h)=1$，求$（f,gh）=$?

其妙 · 发表于 2014-5-20 17:35

设多项式函数$f(x)$、$g(x)$、$h(x)$，满足$(f,g)=1$，$(f,h)=1$，求$（f,gh）=$?
注：$(f,g)$表示多项式函数$f(x)$、$g(x)$首项系数（最高次项系数）为1的最大公因式.

其妙 · 发表于 2014-5-20 23:56

回复 1# 其妙
例如$f(x)=(3x-2)(x-1),g(x)=(3x-2)(2x+1)$，则$(f,g)=x-\dfrac23$

其妙 · 发表于 2014-6-10 16:48

符号[f,g]叫最小公因式？首项系数为1

其妙 · 发表于 2014-6-22 21:45

这道题是不是有点难？

tommywong · 发表于 2014-6-23 06:13

概念性问题被果断略过了......

realnumber · 发表于 2014-6-23 11:00

难道答案不是1？

realnumber · 发表于 2014-6-23 11:07

(f,g)=1,即存在多项式u,v,有uf+vg=1,vg=1-uf
(f,h)=1,即存在多项式s,t,有sf+th=1,th=1-sf
所以tvgh=(1-uf)(1-sf)=1-f(u+s-suf)
即tvgh+f(u+s-suf)=1
所以(gh,f)=1

其妙 · 发表于 2014-6-23 15:25

回复 7# realnumber
非常棒！

其妙 · 发表于 2014-7-1 20:45

我也来做做：
设$uf+vg=1$，则$(uh)f+v(gh)=h$，令$(f,gh)=d$，则$d|f,d|gh$，于是$d|h$，故$d|(f,h)=1$，所以$d=1$，即：$(f,gh)=1$，证毕.

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