$n!+2^n$

tommywong

$T_0=2,T_1=3,T_2=6$

$T_n=(n+4)T_{n-1}-4nT_{n-2}+(4n-8)T_{n-3}$

isee

标题是结果？

其妙

回复 2# isee
根据通项的叠加来构造递推关系，从而命制出一道数列试题

isee

回复 3# 其妙

犀利

青青子衿

$T_0=2,T_1=3,T_2=6$
$T_n=(n+4)T_{n-1}-4nT_{n-2}+(4n-8)T_{n-3}$
tommywong 发表于 2014-6-1 18:29

$T_n=(n+4)T_{n-1}-4nT_{n-2}+(4n-8)T_{n-3}$这个递推式能否变得更一般些呀？

其妙

回复 5# 青青子衿
递推关系可以不唯一，你也可以写一个出来，

tommywong

bbs.emath.ac.cn/thread-5626-1-1.html

我又发错地方了吗？这解法很高等......

战巡

bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2672692

其妙

回复 8# 战巡
战版功力就是深厚！复制过来！
\begin{align*}
a_n&=(n+4)a_{n-1}-4na_{n-2}+4(n-2)a_{n-3}
\\
a_n-na_{n-1}&=4a_{n-1}-4(n-1)a_{n-2}-4a_{n-2}+4(n-2)a_{n-3}\\
a_n-na_{n-1}&=4[a_{n-1}-(n-1)a_{n-2}]-4[a_{n-2}-(n-2)a_{n-3}]\\
\end{align*}
令$a_n-na_{n-1}=b_n$，就有$b_n=4b_{n-1}-4b_{n-2}$,这个就好办了吧，剩下楼主自己搞定吧...
      
       最后得到$a_n=2^n+n!$

kkkkuingggg.5d6d.net/viewthread.php?tid=1178&page=1&extra=#pid7210

tommywong

\(T_n-(n+4)T_{n-1}+4nT_{n-2}-(4n-8)T_{n-3}=0\)
\([E^3-(n+4)E^2+4nE-(4n-8)I]T_{n-3}=0\)
\([E^3-E^2(n+2)+E(4n-4)-(4n-8)I]T_{n-3}=0\)
\(8-4(n+2)+2(4n-4)-(4n-8)=0\)
\((E-I2)[E^2-En+I(2n-4)]T_{n-3}=0\)
\((n-2)^2-(n-2)n+2(n-2)=(n-2)(n-2-n+2)=0\)
\((E-I2)(E-I2)[E-I(n-2)]T_{n-3}=0\)

游客

就是给{n!}和{2^n}两个数列找了个相同的递推关系，
如果知道答案，那么解题思路就容易找到。
构造其中一个数列即可。