积分不等式

青青子衿

\(\frac{\sqrt{\pi}}{2}(1-e^{-a^2})^{\frac{1}{2}}<\int_{0}^{a}e^{-x^2}dx<\frac{\sqrt{\pi}}{2}(1-e^{-\frac{4}{\pi}a^2})^{\frac{1}{2}}\)

战巡

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还记得怎么推出$\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\frac{\pi}{2}$的吧？一样的方法

考虑重积分：
\[\int_0^ae^{-x^2}dx\int_0^ae^{-y^2}dy\]
换极坐标后得到
\[=\int_D\int r e^{-r^2}drd\theta\]
重点就在积分区域，如图：

上面那个积分区域为边长为$a$的正方形，如果此时我们用其内切的四分之一圆来代替，显然是要小一截的，此时有：
\[\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_0^a r e^{-r^2}dr=\frac{\pi}{2}(1-e^{-a^2})<\int_0^ae^{-x^2}dx\int_0^ae^{-y^2}dy=[\int_0^ae^{-x^2}dx]^2\]

右边复杂一点，积分区域变成了半径$\frac{2a}{\sqrt{\pi}}$的四分之一圆，不难算出这个圆的面积跟原来的正方形一样，只是形状变了
既然如此我们就不考虑重叠的部分了，看没有重叠的部分，显然正方形有一大截是落在距离原点更远的位置上，对于函数$re^{-r^2}$来说，这一块任何一点的函数值都不会比圆内任何一点要大，在面积相同的情况下，积分值只会更小
因此有
\[\int_0^ae^{-x^2}dx\int_0^ae^{-y^2}dy=[\int_0^ae^{-x^2}dx]^2<\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_0^{\frac{2a}{\sqrt{\pi}}} r e^{-r^2}dr=\frac{\pi}{2}(1-e^{-\frac{4}{\pi}a^2})\]

其妙

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LLLYSL

记得此题是北京市的有一年高等数学竞赛题。考研好像北大还是哪里也考过。