能否判断连线数量的记录有错

abababa

有两平行直线$a,b$，它们上面分别有$7$个点，$a$上的点记为$A_i$，$b$上的点记为$B_i$，现在规定$a$上的点只能与$b$上的点连线，$b$上的点也只能与$a$上的点连线，某人记录了各点连线的数量为$3,3,3,3,3,5,6,6,6,6,6,6,6,6$，问他的记录是否有错

realnumber

应该记录错了，因为根据规则，所有"a上点的连线和"等于"b上点的连线和",即有一个等式，这些数据都被3整除（5除外），所以等式不成立．否则意味着$3\mid 5$．

abababa

回复 2# realnumber
我是这么想的，要是记录对的话，从a连出的线之和与从b连出的线之和相等，而a,b上都有7个点，就是说看这些数能不能分成两组，每组7个，并且每组之和相等，我列举了一下是不能的。
楼上说的是从单独的一个数的性质来解释的。
我在想如果这些数据特别多，几百几千个，有没有什么方法能判断这些数能否分成两个元素相等的集合，并且每个集合的数分别相加，使结果相等，如果列举就太复杂了，并且数一多也就不见得有单独一个数有这么好的不整除性质。

描述出来就是给定集合$A=\{a_1,a_2,\cdots,a_{2n}\}$共$2n$个元素，能否分为集合$B=\{b_1,b_2,\cdots,b_n\}, C=\{c_1,c_2,\cdots,c_n\}$，使得$\sum_{i=1}^{n}b_i=\sum_{i=1}^{n}c_i$，其中$b_i,c_i \in A$

realnumber

回复 3# abababa

加上条件$a_i\le n,i=1,2,3,\cdots,n$
猜测依然不是充要条件.

abababa

回复 4# realnumber
充分条件可能复杂，有些必要条件是容易的，比如总和必须是偶数