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爱好者-苏小城(9859*****) 9:11:34
后来提问人发现原来是抄错了题！原题是“$A$, $B$, $C$ 成等差数列”：
……
爱好者-苏小城(9859*****) 10:41:01
额
是角为等差数列
不是abc
不好意思啊
……
哎，虽然说抄错题往往害人浪费时间，不过世事无绝对，这次抄错其实也错得挺不错，因为原题太简单，而按照抄错的题来做反而更有玩头。
下面就按照 $a$, $b$, $c$ 成等差数列来玩一下。
题目：已知 $a$, $b$, $c$ 为 $\triangle ABC$ 的三边长，若 $a$, $b$, $c$ 成等差数列且 $\triangle ABC$ 的面积为 $2\sqrt3$，求 $a+2c$ 的最小值。
解：由 $a$, $b$, $c$ 为三角形三边长可设 $a=y+z$, $b=z+x$, $c=x+y$，其中 $x$, $y$, $z>0$，则 $a+c=2b\iff 2y=x+z$，由海伦公式知 $\S{ABC}=\sqrt{xyz(x+y+z)}$，即有 $xyz(x+y+z)=12$，那么
\[(a+2c)^4=\frac{12(2x+3y+z)^4}{xyz(x+y+z)}=\frac{(7x+5z)^4}{xz(x+z)^2},\]
待定正数 $p$, $q$，由均值不等式有
\[xz(x+z)^2=\frac1{pq}\cdot px\cdot qz\cdot (x+z)\cdot (x+z)\leqslant \frac1{pq}\left( \frac{(p+2)x+(q+2)z}4 \right)^4,\]
为迎合系数以及取等，需要有
\[\led
& 5(p+2)=7(q+2), \\
& px=qz=x+z,
\endled\]
解得
\[\led
p&=\frac{8+2\sqrt{11}}5, \\
q&=\frac{4+2\sqrt{11}}7,
\endled\]
代回去化简，即得
\[xz(x+z)^2\leqslant \frac{(7x+5z)^4}{16\bigl( 71+66\sqrt{11} \bigr)},\]
所以
\[(a+2c)^4\geqslant 16\bigl( 71+66\sqrt{11} \bigr),\]
即
\[a+2c\geqslant 2\sqrt[4]{71+66\sqrt{11}},\]
取等条件暂略。 |
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其妙
Post time 2014-8-20 17:54
