来自人教群的 $a$, $b$, $c\in(0,1]$ 分式不等式

kuing

蜀爱好者-yahy(1933******)  23:34:46

设 $b+c=t\in(0,2]$，则
\begin{align*}
右 - 左& =a+\frac1a+b+c+\frac1b+\frac1c-6-12(1-a)(1-b)(1-c) \\
& \geqslant a+\frac1a+t+\frac4t-6-3(1-a)(2-t)^2 \\
& =\bigl(1+3(2-t)^2\bigr)a+\frac1a+t+\frac4t-6-3(2-t)^2 \\
& \geqslant 2\sqrt{1+3(2-t)^2}+t+\frac4t-6-3(2-t)^2 \\
& =2\bigl( \sqrt{1+3(2-t)^2}-1 \bigr)+t+\frac4t-4-3(2-t)^2 \\
& =\frac{6(2-t)^2}{\sqrt{1+3(2-t)^2}+1}+\frac{(2-t)^2}t-3(2-t)^2 \\
& =(2-t)^2\left( \frac6{\sqrt{1+3(2-t)^2}+1}+\frac1t-3 \right) \\
& =(2-t)^2\frac{3t+1+(1-3t)\sqrt{1+3(2-t)^2}}{t\sqrt{1+3(2-t)^2}+t},
\end{align*}
因此，要证原不等式，只需证
\[3t+1+(1-3t)\sqrt{1+3(2-t)^2}\geqslant 0,\]
当 $t\leqslant 1/3$ 时显然成立，当 $1/3<t\leqslant 2$ 时，等价于证
\[(3t+1)^2\geqslant (3t-1)^2\bigl(1+3(2-t)^2\bigr),\]
作差因式分解为
\[3(t-1)^2(24t-9t^2-4)\geqslant 0,\]
由 $1/3<t\leqslant 2$ 易证上式成立，所以原不等式获证。


PS、取等条件除了 $a=b=c=1$ 外还有 $a=b=c=1/2$，说明这个系数 $12$ 是最佳的。

其妙

不错的思路，将三元转化放缩为一元，然后再求最值。
好思路，

其妙

天书的推广，怎么证明？

realnumber

当a,b,c有一个为1时 ，显然成立.以下a,b,c均小于1.
\[12(1-a)(1-b)(1-c)\le \frac{(1-a)^2}{a}+\frac{(1-b)^2}{b}+\frac{(1-c)^2}{c}\]
x=1-a,y=1-b,z=1-c,只需要证明
\[12(\frac{x+y+z}{3})^3\le \frac{(x+y+z)^2}{3-x-y-z}\]
\[x+y+z=t\in(0,3)\]
\[即4t(3-t)\le9 \]
试了下，可以照搬到推广中，
推广中：前面略$x_i=1-a_i,t=x_1+x_2+\cdots +x_n\in (0,n)$,
那么只需要考虑$f(t)=t^{n-2}(n-t)$的最大值，导数可解决.完.

kuing

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soga 原来这么弱……高估了这道题

其妙

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