又看2014年辽宁高考理数第16题(不等式最值)

踏歌而来

这道题看似用柯西不等式就可搞定，但往往忽视了条件。

先看一下，常规求法：
（by wayo94）


再看（ineq）均值不等式求法：

而用柯西不等式要考虑两种情况。

$4a^2-2ab+4b^2=c$

$(2a-\frac{1}{2}b)^2+\frac{15}{4}b^2=c$

$[(2a-\frac{1}{2}b)^2+\frac{15}{4}b^2](1+\frac{3}{5})=(1+\frac{3}{5})c$

$[(2a-\frac{1}{2}b)*1+\frac{\sqrt{15}}{2}b*\sqrt{\frac{3}{5}}]^2≤\frac{8}{5}c$

$(2a+b)^2≤\frac{8}{5}c$

$当且仅当 \frac{[(2a-\frac{1}{2}b)^2 }{1}=\frac{\frac{15}{4}b^2}{\frac{3}{5}}时取等$

$解得  a=\frac{3}{2}b,或者a=-b。$

$第一种情况，可设a=-b=x，则c=10x^2$

$\frac{3}{a}-\frac{4}{b}+\frac{5}{c}$

$=\frac{7}{x}+\frac{1}{2x^2}$

$=\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+7)^2-\frac{49}{2}$

$≥-\frac{49}{2}$

$x=-\frac{1}{7}时，表达式取最小值。$

$此时a=-\frac{1}{7}，b=\frac{1}{7}，c=\frac{10}{49}，|2a+b|=\frac{1}{7}$

$第二种情况，可设a=\frac{3}{2}b=3x，则b=2x，c=40x^2$

$\frac{3}{a}-\frac{4}{b}+\frac{5}{c}$

$=-\frac{1}{x}+\frac{1}{8x^2}$

$=\frac{1}{8}(\frac{1}{x}-4)^2-2$

$≥-2$

$x=\frac{1}{4}时，表达式取最小值。$

$此时a=\frac{3}{4}，b=\frac{1}{2}，c=\frac{5}{2}，|2a+b|=2$

显然第二种情况下|2a+b|最大，第一种情况不符合要求。

kuing

你又自作聪明。
我在我那贴中已经回过了，请恶补柯西不等式的取等条件。

踏歌而来

其实，一放上去，我就知道了，a=-b的情况不必考虑。

kuing

回复 3# 踏歌而来

哎，根本就不存在两种情况好吧，你写的那个“当且仅当……”根本就是错的

踏歌而来

回复 4# kuing

说得好！
取等的式子两边都加上一个根号就好了。

kuing

回复 5# 踏歌而来

不是加根号，如果两边加根号 $\sqrt{\frac{[(2a-\frac{1}{2}b)^2 }{1}}=\sqrt{\frac{\frac{15}{4}b^2}{\frac{3}{5}}}$ 那岂不变成绝对值，一样不正确。
其实百度一下就有了 baike.baidu.com/view/7618.htm 自己看

kuing

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge (ac+bd)^2$ 当且仅当 $ad=bc$ 取等，这是因为 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2=(ad-bc)^2$。
当 $c$, $d$ 不为 0 时取等条件也相当于 $a/c=b/d$。
所以对于你前面写的柯西不等式的过程用到的：
\[
\left[\left(2a-\frac12b\right)^2+\frac{15}4b^2\right]\left(1+\frac35\right)
\ge
\left[\left(2a-\frac12b\right)\cdot1+\frac{\sqrt{15}}2b\cdot\sqrt{\frac35}\right]^2
\]
即
\[
\left[\left(2a-\frac12b\right)^2+\left(\frac{\sqrt{15}}2b\right)^2\right]\left(1^2+\left(\sqrt{\frac35}\right)^2\right)
\ge
\left[\left(2a-\frac12b\right)\cdot1+\frac{\sqrt{15}}2b\cdot\sqrt{\frac35}\right]^2
\]
取等号当且仅当
\[\frac{2a-\dfrac12b}{1}=\frac{\dfrac{\sqrt{15}}2b}{\sqrt{\dfrac35}}\]
化简即 $2a=3b$，没有别的情况。

踏歌而来

回复 7# kuing

谢谢Kuing。
看来 柯西不等式的应用范围较大，不要求 同为正或同为负。

其妙

这道题好像有很多人写，估计是入手容易吧？
blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101kjkm.html、
方法都是大同小异