585刚才发来的函数不等式，原来是个大水母

kuing

Tesla35  21:43:29

一开始看好像难，又指数又对数的，如果直接求导什么的可能就走死路了，而考虑放缩才发现原来是个大水母。

当 $0<x<1$ 时，有
\[(x-1)(e^{-x}-x)+2\ln x<(x-1)(-x)\leqslant \frac14; \]
当 $x\geqslant 1$ 时，有
\[(x-1)(e^{-x}-x)+2\ln x\leqslant (x-1)(1-x)+2(x-1)=(x-1)(3-x)\leqslant 1,\]
即得证。

放缩得很松，得出来的结果也比右边小不少，可见原不等式有多水。

PS、这写的是 In 吗？看来这字不是585写的。

kuing

当 $x\geqslant1$ 时也可以这样
\[(x-1)(e^{-x}-x)+2\ln x\leqslant (x-1)(e^{-1}-x)+2(x-1)=(x-1)(e^{-1}+2-x)
\leqslant \frac{(e^{-1}+1)^2}4<\frac{(2.5^{-1}+1)^2}4=0.49,\]
还不够0.5……

realnumber

海南的海边冲上沙滩的水母，是 一堆“莫名其妙的果冻”，海水里游泳的水母，对称， 随波浪摇摆，是个漂亮的小东西。
en,这样子用它来称呼一些不等式，有些歉意。

kuing

【大Lu】T35(3705*****)  13:21:56
那个图片应该是笔误
原题可能是2/3
不是3/2
【Lu死】kuing  13:41:34
2/3也很水啊
用2楼的结果已经证出 <0.49