来自人教群的一道不等式原题有误修改后可证

kuing

学生-TOM(8146*****)  14:49:49
已知a,b,c为正数　求证
(a^2b + b^2c + c^2a) (ab^2 + bc^2 + ca^2) ≥ abc + [(a^3 + abc) (b^3 + abc) (c^3 + abc)]^(1/3)

这个不等式显然有问题，因为次数不对，左边齐六次右边齐三次，当 a,b,c 都很小的时候就会不成立，比如说 a=b=c=0.01，我没代入计算，但我知道这一定是反例。

那么如何修正？
我一开始觉得可能是左边漏了根号，因为如果补上根号，不但齐次对了，而且 a=b=c 时等号成立，于是尝试证之。
但是在证的时候却发现如下：
\begin{align*}
&abc+\sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)} \\
={}&\sqrt[3]{(c^2a)(a^2b)(b^2c)}+\sqrt[3]{(a^2b+b^2c)(b^2c+c^2a)(c^2a+a^2b)} \\
\leqslant {}&\sqrt[3]{(c^2a+a^2b+b^2c)(a^2b+b^2c+c^2a)(b^2c+c^2a+a^2b)} \\
={}&a^2b+b^2c+c^2a,
\end{align*}
同理也有
\[abc+\sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}\leqslant ab^2+bc^2+ca^2,\]
也就是说也可能是左边的两个求和只要随便去掉一个就行了，当然补根号也是成立的了。

其妙

回复 1# kuing
kk寂寞了，没人陪你玩不等式啊

kuing

回复 2# 其妙

正常+习惯……
后来我 @ 提问者，他可能也没看到，群聊的弱点。

其妙

弄一个资料上来
闵可夫斯基不等式$[(x_1+y_1)^p+(x_2+y_2)^p+...+(x_n+y_n)^p]^\frac1p\leqslant(x_1^p+x_2^p+x_3^p+...+x_n^p)^\frac1p + (y_1^p+y_2^p+y_3^p+...+y_n^p)^\frac1p$

其中$p>0$，$ x_k>0,y_k>0$。
holder不等式
$(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+...+x_ny_n)\leqslant [(x_1^p+x_2^p+x_3^p+...+x_n^p)^\frac1p][(y_1^p+y_2^p+y_3^p+...+y_n^p)^\frac1q]$