1000000!尾部共有多少个零

isee

$1000000!$尾部共有多少个零？

kuing

取决于 5 的个数，$\sum_{k=1}^{\infty} [100000/5^k]$

isee

回复 2# kuing

其实这里想表达就是：这个公式怎样证明呢？

tommywong

$n=5^k m \rightarrow f(n)=k$

$\displaystyle \sum_{n=1}^x f(n)=\sum_{n=1}^{[\frac{x}{5}]} f(5n)=[\frac{x}{5}]+\sum_{n=1}^{[\frac{x}{5}]} f(n)=[\frac{x}{5}]+[\frac{1}{5}[\frac{x}{5}]]+[\frac{1}{5}[\frac{1}{5}[\frac{x}{5}]]]+...$

$\displaystyle [\frac{1}{5}[5 \times \frac{x}{25}]]=[\frac{x}{25}]$

kuing

回复 3# isee

由于在 $1$, $2$, \ldots, $n$ 中，有 $[n/p]$ 个是 $p$ 的倍数，
所以，$[100000/5]$ 计算了 $1$, $2$, \ldots, $100000$ 中 $5$ 的倍数各一次；
$[100000/5^2]$ 计算了 $1$, $2$, \ldots, $100000$ 中 $5^2$ 的倍数各一次；
……
$[100000/5^k]$ 计算了 $1$, $2$, \ldots, $100000$ 中 $5^k$ 的倍数各一次；
……
故此，对于因数里共有 $m$ 个 $5$ 的数，在 $\sum_{k=1}^{\infty} [100000/5^k]$ 里共被算 $m$ 次，所以 $\sum_{k=1}^{\infty} [100000/5^k]$ 就是 $100000!$ 的因数里 $5$ 的总数。

kuing

回复 5# kuing

这意思可以用以下图形来作直观理解：



PS、上图的tikz代码如下：

1. \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
2. \draw[red,->] (0,1) -- +(23,0) node[right] {$[100000/5]$};
3. \foreach \i in {2,3,...,7} {
4. \draw[red,->] (0,\i) -- +(23,0) node[right] {$[100000/5^\i]$};
5. }
6. \foreach \i in {5,10,...,55} {\node at (\i/5,0) {$\i$};}
7. \node at (12.5,0) {$\cdots$};
8. \node at (14,0) {$120$};
9. \node at (15,0) {$125$};
10. \node at (16,0) {$130$};
11. \node at (17.5,0) {$\cdots$};
12. \node at (19,0) {$78125$};
13. \node at (20.5,0) {$\cdots$};
14. \node at (22,0) {$100000$};
15. \foreach \i in {1,2,...,11,14,15,16}
16. {\fill[blue] (\i,1) circle (5pt);}
17. \foreach \i in {5,10,15} {\fill[blue] (\i,2) circle (5pt);}
18. \fill[blue] (15,3) circle (5pt);
19. \foreach \i in {1,2,...,7} {\fill[blue] (19,\i) circle (5pt);}
20. \foreach \i in {1,2,...,5} {\fill[blue] (22,\i) circle (5pt);}
21. \end{tikzpicture}

复制代码

tommywong

看不懂

kuing

已经尽力了……
楼主哩？

tommywong

for i=1:5
        for j=5^i:5^i:10000
        plot(j,i,'.','markersize',20);hold on;
        end
end

tommywong

subplot(1,3,1);
plot([0 0],[0 9],'.','markersize',1);hold on;
for x=1:1000
        for y=1:8
        if(mod(x,5^y)==0)
                plot(x,y,'.','markersize',20);hold on;
        end
        end
end
subplot(1,3,2);
plot([5^8-500 5^8-500],[0 9],'.','markersize',1);hold on;
for x=5^8-500:5^8+500
        for y=1:8
        if(mod(x,5^y)==0)
                plot(x,y,'.','markersize',20);hold on;
        end
        end
end
subplot(1,3,3);
plot([999000,999000],[0,9],'.','markersize',1);hold on;
for x=999000:1000000
        for y=1:8
        if(mod(x,5^y)==0)
                plot(x,y,'.','markersize',20);hold on;
        end
        end
end

kuing

才发现，原来我一直看漏了一个 0

其妙

一头雾水