求xyz的最小值

tommywong

x+y+z=1,没有一个数大于另一个数的两倍，求xyz的最小值

kuing

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2015-7-2 注：此楼错解，修正版见6#
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\(\newcommand\piand{\partial}\)
由条件得 $x\leqslant 2y\leqslant 4x$, $x\leqslant 2z\leqslant 4x$，故得 $x\geqslant 0$，而如果 $x=0$ 则 $y=z=0$，与条件不符，故此 $x>0$，即得 $1/2\leqslant y/x\leqslant 2$, $1/2\leqslant z/x\leqslant 2$，于是可设 $y=tx$, $z=ux$, $t$, $u\in [1/2,2]$，代入条件中有 $x(1+t+u)=1$，所以
\[xyz=x^3tu=\frac{tu}{(1+t+u)^3}=g(t,u),\]
求导有
\[\frac{\piand g}{\piand t}=\frac{(1-2t+u)u}{(1+t+u)^4},\]
故此当 $u$ 固定时，$g(t,u)$ 关于 $t$ 必然先增后减，同理当 $t$ 固定时亦如此，所以
\[g(t,u)_{\min}=\min \left\{ g\left( \frac12,\frac12 \right),g\left( \frac12,2 \right),g\left( 2,\frac12 \right),g(2,2) \right\}=\frac8{343},\]
取等条件是 $\{t,u\}=\{1/2,2\}$，结合条件易得此时 $\{x,y,z\}=\{1/7,2/7,4/7\}$。

tommywong

烦恼了哇，说取1/4,1/4,1/2的人有

kuing

回复 3# tommywong

刚才遇到类似的题，看回这贴，才发现确实是我错了，按上面的取等条件 $\{x,y,z\}=\{1/7,2/7,4/7\}$ 根本就不满足题意，当时居然没发现，真逗比

kuing

回复 2# kuing

主要是我当时忽略了 $y$, $z$ 之间也需要满足 $1/2\leqslant y/z\leqslant 2$，所以 $t$, $u$ 就多了一个约束条件 $1/2\leqslant t/u\leqslant 2$，情况就不一样了，看看怎么修正吧……

kuing

修正版：

不失一般性，设 $x=\max\{x,y,z\}$，则必有 $x>0$，由条件得 $x\leqslant 2y$, $x\leqslant 2z$，即得 $1/2\leqslant y/x\leqslant 1$, $1/2\leqslant z/x\leqslant 1$，设 $y=tx$, $z=ux$，则 $t$, $u\in [1/2,1]$。

代入条件中有 $x(1+t+u)=1$，故
\[xyz=x^3tu=\frac{tu}{(1+t+u)^3}=g(t,u),\]
求导有
\[\frac{\piand g}{\piand t}=\frac{(1-2t+u)u}{(1+t+u)^4},\]
由于 $1/2<(1+u)/2\leqslant 1$，故此，当 $u$ 固定时，$g(t,u)$ 当 $t\in[1/2,(1+u)/2]$ 时递增，当 $t\in[(1+u)/2,1]$ 时递减（虽然 $u=1$ 时递减区间变成一点但也不影响接下来的结论），同理当 $t$ 固定时亦如此，所以必有
\[g(t,u)_{\min}=\min \left\{ g\left( \frac12,\frac12 \right),g\left( \frac12,1 \right),g\left( 1,\frac12 \right),g(1,1) \right\}=g\left( \frac12,\frac12 \right)=\frac1{32},\]
取等条件是 $\{t,u\}=\{1/2,1/2\}$，结合条件易得此时 $\{x,y,z\}=\{1/2,1/4,1/4\}$。
3#是正确的。

这修正比预想中要容易，设定了一个最大者并推出范围之后，另外两个自然已经满足。

其妙

搞一个链接：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=3559&extra=page%3D1