来自人教群小o的$|x|+|y|=5,t=x^2+y^2-2x$最值

kuing

学生-original (1263******)  16:21:14

题目：若实数 $x$, $y$ 满足 $\abs x+\abs y=5$，试求 $t=x^2+y^2-2x$ 的最大值与最小值。

几何解法就不写了，她自己也知道，这里写个代数的简解。

解：最大值方面，由
\[t=\abs{x-1}^2+\abs y^2-1\leqslant (\abs{x-1}+\abs y)^2-1\leqslant (\abs x+1+\abs y)^2-1=35,\]
当 $x=-5$, $y=0$ 时 $t=35$，所以 $t$ 的最大值为 $35$；

最小值方面，若 $x<0$，则
\[t>x^2+y^2\geqslant \frac12(\abs x+\abs y)^2=\frac{25}2;\]
若 $x\geqslant0$，则
\[t=(\abs x-1)^2+\abs y^2-1\geqslant \frac12(\abs x-1+\abs y)^2-1=7,\]
综上知恒有 $t\geqslant 7$，当 $x=3$, $y=\pm2$ 时 $t=7$，所以 $t$ 的最小值为 $7$。

isee

这放缩，炉火纯青！

其妙

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，没看到此解法之前会不会这样做？