三角形中，证$abc\geqslant (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$

isee · 发表于 2014-9-16 19:57

如果$a$，$b$，$c$是某三角形的三边的长度，证明：\[abc\geqslant (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).\]

kuing · 发表于 2014-9-16 19:59

熟知它等价于 Schur 不等式，所以并不需要三角形的条件，只要是非负数就成立。

kuing · 发表于 2014-9-16 20:04

如果构成三角形，那么 $4(a+b-c)(b+c-a)\le (a+b-c+b+c-a)^2=4b^2$，同理另外两式，相乘开方即可；如果不构成三角形，那么右边非正。

isee · 发表于 2014-9-17 14:53

回复 3# kuing

原来是著名不等式另一个特殊的“形态”；不过，这个均值不等式的应用太强大了。

isee · 发表于 2014-9-17 14:57

按证明思路，还能这样子，也通俗易懂——

\[(a+b-c)(a-b+c)=a^2-(b-c)^2 \leqslant a^2\]

同样的方式得到\[(b+c-a)(b-c+a) \leqslant b^2\]

\[(c+a-b)(c-a+b) \leqslant c^2\]

三式相乘并取平方根，即证（$a=b=c$等边三角形时取=）。

isee · 发表于 2014-9-17 15:06

另外，这个不等式链接是容易证明的\[3(ab+bc+ca)\leqslant (a+b+c)^2<4(ab+bc+ca).\]

其妙 · 发表于 2014-9-20 16:25

回复 6# isee
是不是曾经是IMO？

kuing · 发表于 2014-9-20 16:25

回复 7# 其妙

不会吧，那么简单也能上？

其妙 · 发表于 2014-9-21 14:36

回复 8# kuing
记错了，是早期的83年瑞士数学竞赛题

		自动登录	找回密码
密码			快速注册

[不等式] 三角形中，证$abc\geqslant (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$