近似估计

realnumber

\[x=\sqrt{5+\sqrt{3+\sqrt{5+\sqrt{3+\sqrt{\cdots}}}}}\]
问x>3还是x<3?
来自《初等数学小丛书又100个数学问题》第7个.

Tesla35

回复 1# realnumber
因为
$$x=\sqrt{5+\sqrt{3+\sqrt{5+\sqrt{3+\sqrt{\cdots}}}}}$$
所以
$$x=\sqrt{5+\sqrt{3+x}}$$
平方得
$$x^2=5+\sqrt{3+x}$$
令
$$f(x)=x^2-5-\sqrt{x+3}$$
因为
$f(0)<0,f(3)>0$
所以。是不是这样。

007

回复 2# Tesla35


  $$f(\sqrt5)<0$$更好吧

kuing

回复 2# Tesla35

要先证明 x 存在……
大概可以用这种方法 user.qzone.qq.com/249533164/blog/21 去证

羊羊羊羊

先要确定收敛。