类似物理的题目

战巡

一个质点沿着抛物线$y^2=2px$运动，其中法向加速度与切向加速度之比$\frac{a_法}{a_切}=a$为定值
已知质点在点$(\frac{p}{2},p)$时速率为$u$，求其运动到$(\frac{p}{2},-p)$时速率

爪机专用

(2p,p)不在抛物线上？

战巡

回复 2# 爪机专用


卧槽，打错了，改过来先...

羊羊羊羊

回复  爪机专用


卧槽，打错了，改过来先...
战巡 发表于 2014-10-26 12:32

巡巡，你也开始编坑了嘛。。。

kuing

先写一下前面部分，不知有没有错。

为避免字母混淆，这里将题目中的定值 $a$ 改为 $\lambda$。

不妨设 $p>0$，设质点运动到点 $(x,y)$ 时的速度为 $\bm v=(v_x,v_y)$（向量的坐标形式，下同），加速度为 $\bm a=(a_x,a_y)$，则此时的切向加速度为
\[a_{\text{切}}=\frac{\bm a\cdot\bm v}{\abs{\bm v}},\]
由题意得
\[\frac{a_{\text{切}}}{\abs{\bm a}}=\frac1{\sqrt{1+\lambda^2}},\]
所以
\[\bm a\cdot\bm v\sqrt{1+\lambda^2}=\abs{\bm a}\cdot\abs{\bm v},\]
即
\[(a_xv_x+a_yv_y)\sqrt{1+\lambda^2}=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\sqrt{v_x^2+v_y^2},\]
两边平方得并利用拉格朗日恒等式得
\[(a_xv_x+a_yv_y)^2\lambda^2=(a_x^2+a_y^2)(v_x^2+v_y^2)-(a_xv_x+a_yv_y)^2=(a_xv_y-a_yv_x)^2,\]
故
\[(a_xv_x+a_yv_y)\lambda = \pm(a_xv_y-a_yv_x). \quad(1)\]

现在，我们设 $v_y$ 与 $y$ 的函数关系为
\[v_y=f(y),\quad(2)\]
那么
\[a_y=\frac{\rmd{f(y)}}{\rmd t}=\frac{\rmd{f(y)}}{\rmd y}\cdot \frac{\rmd y}{\rmd t}=f'(y)v_y=f'(y)f(y),\quad(3)\]
因为 $y^2=2px$，则
\[\frac{v_x}{v_y}=\frac{\rmd x}{\rmd y}=\frac{\rmd{\frac{y^2}{2p}}}{\rmd y}=\frac yp,\]
所以
\[v_x=\frac1pyv_y=\frac1pyf(y),\quad(4)\]
以及
\[a_x=\frac{\rmd{v_x}}{\rmd t}=\frac1p\cdot \frac{\rmd{(yv_y)}}{\rmd t}=\frac1p\left( \frac{\rmd y}{\rmd t}v_y+y\frac{\rmd{v_y}}{\rmd t} \right)=\frac1p(v_y^2+ya_y)=\frac1p(f(y)^2+yf'(y)f(y)),\quad(5)\]
将式 (2), (3), (4), (5) 代入式 (1)，化简整理得
\[\left( \frac y{p^2}(f(y)+yf'(y))+f'(y) \right)\lambda =\pm \frac{f(y)}p,\]

然后……还不知有没有错，先放着待续……
话说正负号能不能确定下来？……

kuing

正负号先带着，微分方程不会解，上软件吧，得到的是
\[v_y=f(y)=\frac{C_1}{\sqrt{p^2+y^2}}\exp \left( \pm \frac1\lambda\arctan \frac yp \right),\]
于是
\[\abs{\bm v}=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{\left( \frac1pyf(y) \right)^2+f(y)^2}=\sqrt{\frac{y^2+p^2}{p^2}f(y)^2}=\frac{C_1}p\exp \left( \pm \frac1\lambda\arctan \frac yp \right),\]
如果是加速运动的话，那么 $\abs{\bm v}$ 随 $y$ 的减小而增大，故应取负号，即
\[\abs{\bm v}=\frac{C_1}p\exp \left( -\frac1\lambda\arctan \frac yp \right),\]
则依题意有
\[u=\frac{C_1}p\exp \left( -\frac\pi{4\lambda} \right)\riff C_1=up\exp \left( \frac\pi{4\lambda} \right),\]
故所求的速率为
\[\frac{C_1}p\exp \left( \frac\pi{4\lambda} \right)=u\exp \left( \frac\pi{2\lambda} \right).\]

kuing

结果居然这么简洁，看来也不会错到哪去

战巡

回复 4# 羊羊羊羊


这个不是我编的，别人问的

kuing

回复 8# 战巡

我的解法有没有问题啊……不太在行这方面，信心不太足……

战巡

回复 7# kuing


死人k，又这么暴力.......
我就是嫌这样搞太麻烦，弄到一半就放弃了，去另辟蹊径，结果想出这个：

由向心加速度公式可知
\[a_法=\frac{v^2}{r}\]
其中$r$为该点曲线的曲率半径，有$r=\abs{\frac{ds}{d\theta}}$

其中$\theta$为该点切线倾角，即$\theta=\arctan(\frac{dy}{dx})=\arctan(\frac{y}{p})$

\[a_法=a·a_切=v^2\abs{\frac{d\theta}{ds}}\]
\[a·\frac{dv}{dt}=v^2\abs{\frac{d\theta}{ds}}\]
\[a·\frac{vdv}{ds}=v^2\abs{\frac{d\theta}{ds}}\]
\[\frac{dv}{v}=\pm \frac{d\theta}{a}\]
\[v=ue^{\frac{\pi}{4a}\pm \frac{1}{a}\arctan(\frac{y}{p})}\]

kuing

回复 10# 战巡

等我慢慢理解一下……

PS、我建议还是将 a 换一个字母吧，老是要记着它不是加速度……

caijinzhi

回复 10# 战巡
曲率圆，妙！