2014年重庆高考数学卷（9）题

踏歌而来

某校联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排列种数是（ ）。
A.72   B.120   C.144  D.168

按正向思维思考，得出答案是72。翻看标准答案知道应为120，再重新审视，发现我漏算了后4种情况。
先排3个歌舞类节目，再排2个小品类节目，最后排相声类节目。

黑色方框代表歌舞类节目，红色方框代表小品类节目。
显然，第一行中，5个节目间的4个空当和两边的2个空当，都可以放1个相声类节目，共6个位置。
第二行至最后一行，只有1个位置可放。
这样 就是A(3,3)(A(2,1)*6+A(2,1)*1+A(2,1)*1+A(2,1)*1+A(2,1)*1)=120。

标准答案是用排除法的，排除法可以有两种：
一种是从6个节目的全排列中，排除不合要求的种类。
一种是从3个不相邻的歌舞类节目中，排除不合要求的种类。
标准答案是用的第二种，它是不易想到的一种。
先将小品、相声全排列，再向4个空当中插入3个歌舞类节目，这样就实现了3个歌舞类节目不相邻排列，共A(3,3)*A(4,3)种排法。
再排除 3个歌舞类节目不相邻而小品类节目相邻的种类A(2,2)*A(2,2)*A(3,3)。
A(3,3)*A(4,3)-A(2,2)*A(2,2)*A(3,3)=120

我想用第一种排除法，思路是：
6个节目一起排，然后减2个歌舞连排，减2个小品连排，再加上2个歌舞连排且2个小品连排。
但算出的结果不对。
请教大家，应如何从6的全排列排除不合要求的种数？

踏歌而来

刚才把示意图重画了一下。
6个节目一起排，然后减3个歌舞连排，减2个歌舞连排，减2个小品连排，再加上3个歌舞连排且2个小品连排，2个歌舞连排且2个小品连排。
6个节目一起排，用A(6,6)表示，3个歌舞连排，用A(3,3)*A(4,4)表示，2个小品连排，用A(2,2)*A(5,5)，3个歌舞连排且2个小品连排，用A(3,3)*A(2,2)*A(3,3)表示，这些都没有问题。

问题一是，一共有3个歌舞，如何表示2个歌舞连排。
问题二是，一共有3个歌舞，如何表示2个歌舞连排且2个小品连排。

踏歌而来

上图2个歌舞节目相邻，以右边相邻为例，6*A(3,3)*A(3,3)。
同样的，左边相邻也为6*A(3,3)*A(3,3)。
因此，2个歌舞节目相邻的为12*A(3,3)*A(3,3)。

2个歌舞相邻且2个小品相邻的种类，排列可见下图：

上图中，红圆圈表示占位符，2个小品捆绑在一起，同1个相声节目一起，共占两个座位。
A(3,3)*A(2,2)*A(2,2)*6。
两者相减为8*A(3,3)*A(3,3)。

也可以把上面的两部分合并到一起，即2个歌舞相邻但2个小品不相邻的情况：

分别是 4、4、4、2、4、4、2种小类型，
故为48*A(3,3)种，即8*A(3,3)*A(3,3)。

luren8asdf

先不考虑两个小品不相邻，再排除
A(3,3)*A(4,3)-A(2,2)*A(2,2)*A(3,3)=120

踏歌而来

回复 5# luren8asdf

你的答案就是第二种排除法。
如果将3个歌舞节目改为2个歌舞节目。
即某校联欢会要安排2个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排列种数是多少？
我算是48，不知对不对，请帮我看看。
第二种排除法：A(3,3)*A(4,2)-A(2,2)*A(2,2)*A(2,2)-A(2,2)*A(2,2)*A(2,2)-A(2,2)*A(2,2)*A(2,2)=48。
可见，只差一个歌舞类节目，算法却迥异。

踏歌而来

用全排除法是：A(5,5)-A(2,2)*A(4,4)-A(2,2)*A(4,4)+A(3,3)*A(2,2)*A(2,2)=48。
按常规算法是：A(2,2)*A(2,1)*A(2,2)+A(2,2)*A(2,1)*A(2,2)+A(2,2)*A(2,1)*A(2,2)+A(2,2)*A(2,1)*A(2,2)+A(2,2)*A(2,2)=48。

羊羊羊羊

用全排除法是：A(5,5)-A(2,2)*A(4,4)-A(2,2)*A(4,4)+A(3,3)*A(2,2)*A(2,2)=48。
按常规算法是：A(2,2)*A(2, ...
踏歌而来 发表于 2014-10-30 16:18

其实，就是一个都不能少地找到所有情况。

踏歌而来

其实，就是一个都不能少地找到所有情况。
羊羊羊羊 发表于 2014-10-30 19:02

说得好！
通过这道题的深入思考，增加了我对解决排列组合问题的信心。