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鄂F-爱好者荆楚(7048*****) 18:04:40
已知x,y,z>0且xyz=1，求证：(xy+x+1)(y+1)(z+1)>=1/2*(5sqt(5)+11)
求漂亮证明！
粤A爱好者kuing 18:41:33
凡求漂亮证明的，将你认为不漂亮的证明贴出来
闽H学生大羊系(2845*) 18:41:47
+1
皖M爱好者-苏苏(9859*****) 18:42:09
呵呵
粤A爱好者kuing 18:42:23
不然我解完了，结果跟你认为不漂亮的证明一样，那就坑
皖M爱好者-苏苏(9859*****) 18:42:43
漂亮证明是什么 不漂亮证明又是什么
现在题目出的越来越无聊了
粤教师第一章<v_wa*******.com> 18:43:47
你们都错了，
意思是请一个叫“漂亮”的给证明一下
鄂F-爱好者荆楚(7048*****) 19:54:31
好吧，帖。记x=a/b,y=b/c,z=c/a.则原不等式等价于(a+b)c^3+(a^2+3ab+b^2)c^2+2ab(a+b)c+a^2b^2>=1/2(5sqrt(5)+11)abc^2,
即需证：2sqrt(ab)+5abc^2+2ab*sqrt(ab)c+a^2b^2>=1/2(5sqrt(5)+11)abc^2,
再设t=c/Sqrt(ab)，由上式化为4t^3-(5sqrt(5)+1)t^2+8t+2>=0，分解即证。
换了两次元，当然不漂亮。
话说漂不漂亮真是自己说了算的，我觉得他写的证法就挺好的。
好吧我也写一个，应对于当不知道右边的值，也就是题目改为求最小值的时候。
由条件及柯西有
\begin{align*}
(xy+x+1)(y+1)(z+1)&=\left( \frac1z+\frac1{yz}+1 \right)(y+1)(z+1) \\
& =\left( \frac1y+1+z \right)(y+1)\frac{z+1}z \\
& \geqslant \bigl(1+\sqrt{1+z}\bigr)^2\frac{z+1}z,
\end{align*}
设 $\sqrt{1+z}=1+t$，其中 $t\in (0,+\infty)$，则 $z=(1+t)^2-1=t(t+2)$，故
\begin{align*}
(xy+x+1)(y+1)(z+1)&\geqslant (2+t)^2\frac{(1+t)^2}{t(t+2)} \\
& =\frac{(t+1)^2(t+2)}t \\
& =t^2+4t+\frac2t+5 \\
& =(t-k)^2+2(2+k)t+\frac2t+5-k^2 \\
& \geqslant 4\sqrt{2+k}+5-k^2,
\end{align*}
这里的 $k$ 是待定的正数。不难看出取等条件为
\[(2+k)k=\frac1k\iff (1+k)(k^2+k-1)=0\riff k=\frac{\sqrt5-1}2,\]
注意此时有 $2+k=(k+1)^2$，故
\begin{align*}
(xy+x+1)(y+1)(z+1)&\geqslant 4\sqrt{2+k}+5-k^2 \\
& =4(k+1)+5+k-1 \\
& =5\cdot \frac{\sqrt5-1}2+8 \\
& =\frac{5\sqrt5+11}2.
\end{align*}
既换了元而且还这么长，应该算是丑证法咯。 |
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