求教一道几何题，谢谢

几何小迷

kuing

小问太多，哪一问不会？

几何小迷

（3）不会

乌贼

设$AC$与$DG$交点为$N$，取$DN$中点$M$，则$A、M、E、F$四点共圆。又$ME//AC$，有$2\angle FAE=\angle BAC$。
圆交$AB$于$P$，有$\angle APE=\angle ABC$有$FB=FD\riff\angle BFG=\angle BAC$，有$\cos\angle BAC=\dfrac{GF}{FD}$

战巡

回复 1# 几何小迷


倍长$AE$、$FE$到$H$、$I$，其他连线如图
易证四边形$AIHF$为菱形，有$AF=AI=IH$

另一方面，由于$DE=CE$，有四边形$DFCI$为平行四边形，$DF=CI$且$CI∥DF$，$CI⊥BC$
同理证明$CH∥BD$，$CH=AD$，然后可证$∠ACI=∠HCI=\frac{\alpha}{2}$

由于$∠ACI=∠HCI$，其对边$AI=IH$，可证$A,I,H,C$共圆，有$∠IAC=180\du-∠IHC$
然后因为$AI=IH, CH=AD, DF=CI$，有$△ADF≌△HCI$，$∠DAF=∠IHC$
加上前面就可以得到$∠IAC=∠AFB$，再加$AB=AC,AF=AI$，可证$△AFB≌△AIC$，有$∠ABF=∠ACI=\frac{\alpha}{2}=∠ADF$，可得$DF=BF$，$∠BFG=∠DBF+∠BDF=\alpha$，$\frac{FG}{DF}=\frac{FG}{BF}=\cos(\alpha)$

第二问，易证$∠AIH=180\du-∠ACH=180\du-\alpha$，又有菱形$AIHF$，可得$∠IAH=∠EAF=\frac{1}{2}(180\du-∠AIH)=\frac{\alpha}{2}$

isee

回复 4# 乌贼

乌贼对这种垂直加中点的题，很有一套啊。

isee

回复 5# 战巡


别具一格。

isee

回复 1# 几何小迷


    事实上，D在BA直线上均是成立的。





   


    此题 与 曾经的梯形讨论题中的第19题同源，且更一般化。


    所以可以猜想，其逆命题也是成立的。