来自某教师群的$S_n=2na_{n+1}-3n^2-4n$

kuing

深圳   汪老师(4052*****) 11:27:03

请问广东省理科数列题除了数学归纳法,还有什么方法?

广州kuing/kun 14:03:26


深圳   汪老师(4052*****)  14:52:20
谢谢kuing ,就是想找这种方法

这里之所以后面直接等于零是因为第（1）问已经计算出 $a_1=3$，这是特殊情况，所以才有简单解，如果 $a_1\ne3$ 的话就要把 $f(n)$ 具体写出来
\begin{align*}
a_n-2n-1&=\frac{2n-3}{2n-2}\cdot \frac{2n-5}{2n-4}\cdots \frac12(a_1-2\cdot 1-1) \\
& =\frac{(2n-2)(2n-3)(2n-4)(2n-5)\cdots 1}{(2n-2)^2(2n-4)^2\cdots 2^2}(a_1-3) \\
& =\frac{(2n-2)!}{4^{n-1}\bigl((n-1)!\bigr)^2}(a_1-3),
\end{align*}
所以
\[a_n=2n+1+\frac{(2n-2)!}{4^{n-1}\bigl((n-1)!\bigr)^2}(a_1-3).\]

kuing

其实用双叹号来表示更好，不过中学好像都不介绍双叹号，只能改写为单叹号

kuing

中间配凑可以用待定系数，设
\[6n+1=(2n-1)(An+B)-2n\bigl(A(n+1)+B\bigr),\]
展开即得 $A$, $B$，然后就OK了。

caijinzhi

妙哉！