|
|
京D爱好者tzhp6666(3363***) 20:27:23
粤A爱好者kuing(249533164) 20:47:06
设角，面积表达式求出来，求导就行了
粤A爱好者kuing(249533164) 20:51:02
当 (cosC)^4=1/2 时取
具体过程：
设半圆的半径为 $R$，记 $\angle ACD=C$，则易知
\begin{align*}
S_{\text{扇形}AOB}&=R^2C,\\
\S{OBC}&=\frac12R^2\sin2C,\\
\S{ACD}&=2R^2\tan C,
\end{align*}
故阴影面积为
\begin{align*}
S&=\frac12\pi R^2+\S{ACD}-2(S_{\text{扇形}AOB}+\S{OBC}) \\
&=\frac12\pi R^2+2R^2\tan C-2R^2C-R^2\sin2C,
\end{align*}
对 $C$ 求导得
\[S'=2R^2\left( \frac1{\cos^2C}-1-\cos2C \right)=\frac{1-2\cos^4C}{\cos^2C},\]
故当 $\cos C=1/\sqrt[4]2$ 时 $S$ 最小，下略。
上面是很常规的过程，所以本来懒得发本贴，但是刚才突然想到，通过两块面积的增加与减少应该也能快速判断出取最小值的情形，以达到目测出答案的效果。
如图，考虑 $\angle ACD$ 由 $C$ 增加到 $C+{\rmd C}$，那么弓形减少的部分可近似为一个小扇形，其面积为
\[\frac12CB^2{\rmd C},\]
而半圆外的那块增加的部分可近似为一小部分的环，其面积
\[\frac12(CD^2-CB^2){\rmd C},\]
故此，当阴影部分面积最小时，应有
\[CD^2=2CB^2,\]
此时
\[\frac12=\frac{CB^2}{CD^2}=\frac{CB^2}{CA^2}\cdot\frac{CA^2}{CD^2}=\cos^4C,\]
与上述结果相同。 |
|
